第15讲 三步解决最值问题之阿氏圆（PA+k·PB）-2023年中考数学重点核心知识点专题讲+练

第15讲 最值问题之阿氏圆（PA+k·PB） 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则的最小值为__________． 模型特征：点p在圆上运动（和胡不归对比） 解题思路：①，注意这个，题中一定会给比值为的两条边，本题中= ②在CA（圆心和圆外点的连线）边上取点M使得CM=2，连接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM= ③k的本质是圆心和圆心和直线外的点的连线的比值，若本题改为求PA+kPB最小值，根据圆C半径与CB之比为2:3，k应为 ④取点方法：P为动点，假设P,D重合，因此当M时CD中点时，满足CM= ⑤题目的本质： 问题转化为PM+PB最小值，直接连BM即可． 【变式】如图，在扇形COD中，∠COD=90°，OC=3,A是OC中点，OB=2,P是弧CD上一点，则PB+2PA的最小值为 。 【解析】连接OP,转化2PA。故延长OC至E，使CE=2OP 则△OAP∽△OPE 得→PE=2AP→PB+2PA=PB+PE，即PB+2PA的最小值即为线段BE的值，然后用勾股定理求值即可。 一、单选题 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（    ） A．7 B．5 C． D． 二、填空题 2．如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ___________． 3．如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ___________． 4．如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为________． 5．如图，在中，，以点B为圆心作圆B与相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是___________． 6．如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是_____． 7．如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为_____． 8．如图所示，，半径为2的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 ___________． 9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是________. 三、解答题 10．如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求： ①， ②， ③， ④的最小值． 11．如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝，连接AF，BD （1）求证：△BDC≌△AFC （2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD＋AD的值； （3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD＋AD的最小值． 12．如图，点A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝4，动点P在上．求2PC＋PD的最小值． 13．如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是直线下方的抛物线上一个动点，是否存在点使四边形的面积为16，若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由； (3)如图2，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作，点为上的一个动点，求的最小值． 14．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B （1）求抛物线解析式及B点坐标； （2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积； （3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由． 15．如图，抛物线与轴交于，，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）设点的横坐标为，当时，求的值； （3）当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径