第4讲第1课时《勾股定理的逆定理》教案　2022—2023学年人教版数学八年级下册

第四讲 勾股定理的逆定理 ［教学内容］ 八年级第四讲“勾股定理的逆定理”.（第一课时） ［教学目标］ 知识技能 1.理解并能证明勾股定理的逆定理； 2.掌握勾股定理逆定理，并能判定一个三角形是不是直角三角形. 数学思考 1.会用勾股定理解决简单的实际问题. 2.通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体会数形结合的思想. 解决问题 体会数形结合方法在解决问题中的作用，并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题. 情感态度 1.学生通过适当训练，逐步体验数学说理的重要性. 2.在活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探究精神. [教学重点、难点] 重点：会用勾股定理解决简单的实际问题 难点：应用勾股定理解决简单的实际问题 [教学准备] 动画多媒体课件 第一课时 教学路径 师：上节课我们学习了勾股定理的具体内容，找同学说一说勾股定理. 生：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方. 启动型问题 如图所示，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B，已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里，反走私艇B测得离C艇的距离是12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？ 学生独立完成，然后指定学生讲解. 答案： 如图，设MN交AC于E(点E飞进来)，则∠BEC=90°. 又AB2+BC2=52+122=169=132=AC2， ∴△ABC是直角三角形，∠ABC=90°. 又∵MN⊥CE.∴走私艇进入我领海的最近距离是CE， 则CE2+BE2=144，（CA-CE）2+BE2=25，26CE=288，CE= ， ∴走私艇进入我国领海所用时间为 ÷13≈0.85（时）, 0.85×60=51(分), 9时50分+51分=10时41分. 故走私艇最早在10时41分进入我国领海. 回顾 1.勾股定理的逆定理（下一步） 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形. 2.勾股数（下一步） (1)满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数. （下一步） (2)勾股数组有无数个,对于任意两个正整数m,n(m＞n),m2+n2,m2-n2和2mn这三个数就是一组勾股数组. 师：下面让我们来看看怎么利用勾股定理的逆定理来解题呢？ 初步性问题 探究类型之一 利用勾股定理的逆定理判断直角三角形 例1 已知△ABC的三边分别是a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c, 试判断△ABC是否是直角三角形. 解析：动画依次闪蓝色，绿色，黑色的字，然后出示箭头，出示： a2-6a+b2-8b+c2-10c+50=0 （下一步）出示箭头，然后出示文字：(a2-6a+9)+(b2-8b+16)+(c2-10c+25)=0 （下一步）出示箭头，然后出示文字：(a-3) 2+(b-4) 2+(c-5) 2=0 （下一步）a=3,b=4,c=5. （下一步）根据勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形. 答案： 解：将a2+b2+c2+50=6a+8b+10c变形得 (a2-6a+9)+(b2-8b+16)+(c2-10c+25)=0, 即(a-3) 2+(b-4) 2+(c-5) 2=0. ∴a=3,b=4,c=5,a2+b2=c2, 根据勾股定理逆定理知，△ABC是直角三角形. 1.师：如何判断△ABC是否是直角三角形？ 生：等式中有二次项一次项和常数项，可以尝试配方写成几个完全平方式的和的形式. 师：好，配方后的结果是？ 生： (a-3) 2+(b-4) 2+(c-5) 2 =0. 师：所以我们得到了三角形三边的长度，分别为3，4，5，说明？ 生：这是一个直角三角形. 2.师：通过这道题目，我们来总结从代数的角度判断一个三角形为特殊三角形的方法有哪些？ 生：结合式子的特点将所给的等式变形，通过配方，因式分解法，或者与已知的代数结论相结合建立三角形三边的关系. 师：现在判断一个三角形是直角三角形的方法？ 生：有一个角为90°的三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理. 师：如果一边上的中线等于这边的一半，这个三角形为直角三角形. 类似性问题 1.△ABC的边长分别为a=m -1,b=m +1,c=2m(m＞0),则△ABC是（ ） A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形 学生独立完成，指定学生讲解. 解析： a + c =（m2-1）2+ 4m2=m4+ 2m2+1=（m2+1）2=b . （下一步）勾股数组有无数个,对于任意两个正整数m,n(m＞n),m +n