第3讲第2课时《勾股定理》教案　2022—2023学年人教版数学八年级下册

第三讲 勾股定理 ［教学内容］ 八年级第三讲“勾股定理”（第二课时）. ［教学目标］ 知识技能 1.掌握勾股定理； 2.学会利用勾股定理进行计算、证明与作图； 3.了解有关勾股定理的历史. 数学思考 在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想. 解决问题 能运用勾股定理解决直角三角形相关的问题. 情感态度 1.通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受； 2.通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育． [教学重点、难点] 重点：勾股定理及其应用 难点：用拼图的方法证明勾股定理 [教学准备] 动画多媒体语言课件 第二课时 教学路径 师：上节课我们学习了勾股定理有关问题，这节课我们继续学习勾股定理，下面我们一起来看一下根据勾股定理构造出的美丽的勾股树吧. 初步性问题 探究类型之三 勾股定理与拼图 例4 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值.如图是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为Sn，设第一个正方形的边长为1.请解答下列问题： （1）S1=_______； 解析： ∵第一个正方形的边长为1，∴正方形的面积为1. 又∵直角三角形一个角为30°， ∴三角形的一条直角边为，另一条直角边就是， ∴三角形的面积为×÷2=， ∴S1=1+. 答案：1+（填在横线上） （2）通过探究，用含n的代数式表示S，则S=________. 图2 图3 解析: 如图2，若正方形的边长为a，正方形的面积为a2，（下一步） 如图3，若含30°角的直角三角形的斜边长为a，两条直角边长分别为，，所以含30°角的直角三角形的面积为：，正好是以a为边长的等边三角形面积的一半. （下一步） 设第n个正方形的边长和含30°角的直角三角形的斜边长为an， （下一步）Sn= S正方形+ S三角形= an 2+=(1+) an 2. （下一步） a1=1， a2=×a1=， a3=×a2=， …， an=×an-1=.（下一步） Sn= (1+) an 2=（1+）×(). 答案： （1+）×()（填在横线上） 1.师：如何求红色图形的面积？ 生：（预设）分别求出三角形和正方形的面积，正方形的面积就是1，而三角形是含30°的特殊直角三角形，根据前面题目的总结，它的面积为. 2.师：好，接下来就要探究一般的规律了，由特殊到一般，方法上是否相同呢？ 生：（预设）我们发现还是要求正方形和直角三角形的面积，它们都和一条边长有密切关系. 师：如果我们设第n个图形中正方形的边长为an，那么图形的面积是多少？ 生：（预设）(1+) an 2. 师：最后的问题就剩下求an，观察，猜想，归纳，总结，你得到的结论是？ 生：（预设）an=×an-1=， 3.师：最后我们总结一下自己的收获吧. 学生回答. 师：（1）勾股定理反映直角三角形三边关系即a2+b2=c2，同时也反映了以直角三角形三边为正方形的面积关系，是勾股定理的另一种表现形式；（2）从简单到复杂，从特殊到一般是探究规律型问题的一般方法. 师：下面我们接着来看一下勾股定理在折叠问题中有哪些应用. 类似性问题 4.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2,5,1,2，则最大的正方形E的面积是__________. 解析： S3=S1+S2=SA+SB+SC+SD=2+5+1+2=10. 探究类型之四 勾股定理在折叠中的应用 例5 如图，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BD=2，DC=3，求AD的长.小萍灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题： 分别以AB，AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点分别为E，F，延长EB，FC相交于G点，可得四边形AEGF为正方形.设AD=x,利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值. 解析：根据四边形AEGF为正方形以及轴对称性质得： EG=GF=AF=AE=AD=x，（在图中标出3个x），（下一步） BE=BD=2，CF=CD= 3，（在图中标出2、2、3、3），（下一步） BG=x-2，CG=x-3，（在图中标出x-2， x-3），（下一步） 在Rt△