第3讲第1课时《勾股定理》教案　2022—2023学年人教版数学八年级下册

第三讲 勾股定理 ［教学内容］ 八年级第三讲“勾股定理”.（第一课时） ［教学目标］ 知识技能 1.掌握勾股定理； 2.学会利用勾股定理进行计算、证明与作图； 3.了解有关勾股定理的历史. 数学思考 在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想. 解决问题 能运用勾股定理解决直角三角形相关的问题. 情感态度 1.通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受； 2.通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育． [教学重点、难点] 重点：勾股定理及其应用 难点：用拼图的方法证明勾股定理 [教学准备] 动画多媒体语言课件 第一课时 教学路径 导入: 师：毕达哥拉斯(Pythagoras)是希腊的哲学家和数学家. 传说他是一个非常优秀的教师，他认为每一个人都该懂些几何.有一次他看到一个勤勉的穷人，他想教他学习几何，因此对此人建议：如果这人能学懂一个定理，那么他就给他一块钱币.这个人看在钱份上就和他学几何了，可是过了一个时期，这学生对几何却产生了非常大的兴趣，反而要求毕达哥拉斯教快一些，并且建议：如果老师多教一个定理，他就给一个钱币.不需要多少时间，毕达哥拉斯把他以前给那学生的钱全部收回了. 毕达哥拉斯和他的学生研究数学，做出了很多数学发现，比如“毕达哥拉斯定理”，这个定理在我们中国就叫做“勾股定理”.我国古代数学家赵爽的“弦图”，刘徽的 “青朱出入图”，古印度的“无字证明”都给出了勾股定理的证明方法，勾股定理还有很多证明方法，下面我们来看一下伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）的证明方法. 启动型问题 [定理表述]根据图中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）； 小萍：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c,那么a2+b2=c2. （下一题） [尝试证明]以图（1）中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形，如图（2），请你利用图（2），验证勾股定理；（下一步）动画出示将两个三角拼成图（2）的形式. （下一题） 小颖：∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB=∠EDC， 又∠EDC+∠DEC=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠AED=90°. ∵S=S+S+S， ∴（a+b）(a+b)= ab+ab+c2.整理，得a2+b2=c2. （下一题） [知识拓展]利用图（2）中的直角梯形，我们可以证明＜.其证明步骤如下： ∵BC=a+b,AD=_______. 又∵在直角梯形ABCD中有BC______AD（填大小关系），即_______， ∴＜. 小亮： c；＜；a+b＜c（直接填在横线上） 回顾 1.勾股定理(下一步) 直角三角形两条直角边a,b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2. 2.勾股定理的验证（下一步） 勾股定理的证明方法很多，据说已有400余种，其证明的内涵极其丰富.常用的证法是面积割补法，如图所示. （将面积割补法五个字变色） 3.直角三角形的性质（下一步） 两锐角互余（角的关系）、勾股定理（边的关系）、30°角所对的直角边等于斜边的一半（边角关系），这些性质在求线段的长度、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面有广泛的应用. 初步性问题 师：让我们看看勾股定理都有哪些应用吧. 探究类型之一 勾股定理的应用 例1 如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行（ ） A.8米 B.10米 C.12米 D.14米 解析： 图1 利用两点之间线段最短知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短.（然后连接两个树梢，小鸟飞过（在原图中作出）（下一步） 建立数学模型：如图1所示，已知：AD⊥CD，BC⊥CD，AD=10m，BC=4m，CD=8m，连接AB，求AB的长.（作出上图）（下一步） 构造直角三角形，利用勾股定理求线段AB的长. (下一步)过点B作BE⊥AD，垂足为E（动画在图中作出）则易知BE=8 m，AE=10-4=6m. (下一步)AB===10（m）. 答案：B 1.师：确定小鸟飞行最短路线的依据是什么？ 生：（预设）两点之间，线段最短. 师：下一步我们就需要将实际问题转化为数学问题，大家想一想这是一道什么数学问题呢？ 2.学生独立完成，然后找学生说说此题转化成什么数学问题. 师：好，大家一起来看一下，要将条件用数学符号语言表达清楚，如图1所示，已知：AD⊥CD，BC⊥CD，AD=10，BC=4，CD=8，连接AB，求AB的长. 师：如何求AB的长，你的方法是？ 生：（预设）构造直角三角