专题6 培优提能13 隐圆问题-【导与练】2023高考数学二轮复习教学课件PPT（新教材）

导巧球 培优提能13 隐圆问题 3,州 6培优链接 隐圆问题在近几年高考题和各地模拟题中都出现过，难度为中高档，在题设中没 有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化、发现圆（或圆 的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆问题”. 培优点1圆的定义或几何性质确定隐圆 典例1设m∈R，过定点A的动直线mx-y=0和过定点B的动直线x+my-4m-3=0交于 点P，则|PA|+|PB|的取值范围是() A.[―，2―]ⅵB.[2―，5] C.[55εz5D.I5ξ|0] 解析：直线mx-y=0过定点A(0，0)，直线x+my-4m-3=0过定点B(3，4)， ①当m=0时，过定点A的直线方程为y=0，过定点B的直线方程为x=3， 两直线垂直，此时P(3，0)，所以|PA|+|PB|=3+4=7， —— ②当m卡0时，直线mx-y0的斜率为m,直线x+my-4m-3=0的斜率为-一， 因为mX(一)=-1，所以两直线垂直，即点P可视为以AB为直径的圆上的点， 当点P与点A或点B重合时，IPA+|PB|有最小值，最小值为|AB|=5, 当点P不与点A或点B重合时，△PAB为直角三角形，且|PA|2+PB|=|AB|2=25,由 基本不等式可知|PA|+|PB|≤2 5,当且仅当PaPB时，等 2 PA +PB 5ξ2 号成立， 回 2 ξ2 2 所以|PA+|PB|∈[5,5E2].故选C. ◆名师指津◆ 利用圆的定义或圆的几何性质确定隐圆，是解决问题的关键，要注意数形结合 触类旁通1(1)己知直线1：x+my+1=0与直线12：mx-y-3m+2-0分别过定点A,B,且交于点 P,则|PA·IPB的最大值是(D) A.5 B.5 C.8 D.10 解析：(1)直线l1:x+my+1=0过定点A(-1,0),直线I2:mx-y-3mt2=0过定点B(3,2), 联立 消去m得(x-1)2+(y-1)2=5, x+my+1=0 又A)在圆x)2+y-1)2=5上，且AB为圆的直径， 故IPA|2+|PB|2=20≥2|PA|·IPB|,所以|PA|·IPB|≤10， 当且仅当PA=PB=时，取等号，所以|PA|·IPB|的最大值是10.故选D. E10 (2)已知点A(-5,-5)在动直线mx+ny-m-3n=0上的射影为点B,若点C(5,-1),那 么|BC的最大值为(C A.6 B.14C.12 D.10 解析：(2)动直线方程化为m(x-1)+n(y-3)=0,知动直线恒过定点Q(1,3). 又因为点A(-5,-5)在动直线mx+nym-3n0上的射影为点B, 所以∠ABQ90°，则，点B的轨迹是以AQ为直径的圆， 所以圆心为AQ的中点M(-2,-1),圆的半径r=|AQ=5. 1 叉IMC=()( )=7>r=5,所以点C(5,-1)在圆外， 2 故|BC碍H惺为+|Md±547=12.故选C. 培优点2 定值确定隐圆 典例2 在平面直角坐标系x0y中，点A(-12,0),B(0,6),点P在圆0：x+y°=50上，若 ≤20，则点P的横坐标的取值范围是(） B.[-5,1] PB C.[22E2] D.[-2x2 解析：设点P(x,y),若 ≤20，即(x+12)x+y(y-6)≤20，则(x+6)2+(y-3)2≤65， 则点P的轨迹为圆0以（品3）为圆心， 为半径的圆内部及其上的点的集合， 联立 得 勇5 2 2 结合翔)22ǜ.酸透.日5 x,+y2=50 回 v=5 ◆名师指津◆ 在解决与圆相关的综合问题时，要注意充分利用圆的几何性质或一些简单的轨迹 知识将问题转化为直线与圆或圆与圆的位置关系问题.当两定点A,B,动点P满足 P4·PB是定值时确定隐圆 触类旁通2已知点A(-1,0),B(1,0),若圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=1上存在点M满足 =3,则实数a的取值范围是 MB一 MA 解析：设M(x,y),因为 =3,所以(-1-x,-y)·(1-x,-y)=3,即点M的轨迹方程 为×2+y2=4,表示圆. MA MB 又因为点M在圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=1上，所以两圆有交点. 所以2-1≤（- )（--)≤1+2，即a+a-2≤0，解得-2≤a≤1. 答案：[-2,0a+12+0a22