专题2 培优提能6 向量极化恒等式-【导与练】2023高考数学二轮复习教学课件PPT（新教材）

导巧球 培优提能6 向量极化恒等式 3,州 6培优链接 1.极化恒等式：a·b一[(a+b)2-(ab)] 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线” 与“差对角线”平方差的 2.平行四边形PMQN,0是对角线交点.则： ()、·、一-、门（平行四边形模式） PM.PN手PO-NM(E角形模式. (2） PM PN PO NM 典例 (1)(2022·山东菏泽二模)已知半径为1的圆0上有三个动点A,B,C,且|AB|=一， 则 的最小值为 AC BC E2 解析：(1)法一 因为|AB|=,又IOA|=|OB|=1,所以|OA2+|OB|=|AB|2,所以∠AOB= 以0为原点，OA,OB所在直线分别为×轴、y轴建立平面直角坐标系， 2 则A(1,0),B(0,1),设C(x,y),则x+y2=1.=(x-1,y),=(x,y-1),所以 x(x-1)+y(y-1)=x2+y2-x-y=-x-y+1, AC BC 设-x-y+1=t,即x+y+t-1=0,依题意直线x+y+t-1=0与圆有交点， 所以☐≤1，得1-“≤t≤1+，所以 的最小值为1- │法二(极化恒等式）如图，取AB的中点为D，连接CD，则 Ⅰ_r-|_I’=1_I2->l_|一---1--AC BC CA CB CD4BA CD2E-1．ξ221ξ2 1 答案：(1)1-～ ξ2° (2)(2020·天津卷)如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=3,BC-6,且=入 =一，则实数λ的值为 ;若M,N是线段BC上的动点，且AD=B则 AD .AB 的最小值为 MN DM DN B M N 解析：(2)法一（极化恒等式） 依题意得AD∥BC,∠BAD=120°，由 。=川1· coS∠BAD=一|=一，得1=1，因此入.取MN的中点E,超接褪（图4，B 3 3 AD 1 2 AD 2 AD BC 6 DM =2 ÷[(+)2-(-)]=2-|1=|2-. 1 1 DN DE DM DN 4 DM DN DM DN DE 4 NM DE 4 注意到线段MN在线段BC上运动时，DE的最小值等于点D到直线BC的距离，即AB·sinB= 353 2 1 因此 2一的最小值为(—)2一一，即 的最小值为一 DE 4 32348 DM DN 超 法二因为=入，所以AD∥BC, 则∠BAD=120D,所C。·=|1l|·cos120°=一，解得引=1. 3 AD AB AD AB AD 国为，同向，且BC6,所以=，即入=一 →1一 1 AD BC AD 6BC 6 在四边形ABCD中，作A0⊥BC于点0，则B0=AB·cos60°三，A0=AB·sin60°=一 33 M N Cx 以0为坐标原点，以BC和A0所在直线分别为×轴、y轴是立平面直角坐标系.2 如图，设M(a,0),不妨设点N在点M右侧，则N(a+1,0),且-一≤a≤-.又D(1,—）,所以=(a-1,-一），=(a,一)， 3 7 33 3ξ3 33 2 2 2 DM 2 DN 所以 ·=a-a+-=(a一)2+，所以当ar时，。 ·取得最小值一 27113 13 答家(2)N一422 2 DM DN 2 6 2 (3)如图所示，正方体ABCD-ABCD的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦（我们把球面 上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦N的长度最大 时， ·的取值范围是 D C PM PN M B N B 解析：(3)由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2 当弦MN的长度最大时，MN为内切球的直径 3 设内切球的球心为0，则·=？-|=|P-1,由于P为正方体表面上 的动点，故|I∈[1，PM所路N,p0,R2]·Po 答案：(3)[8]-3--PMPN ◆名师指津◆ 利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特 别适用于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题