第2章 7 导数的应用-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版）

考点同步解读〉高中效学选摔性必修第二册SD色 §7 导数的应用 高考要求学业标准·考情分祈 考点分布· 学科素养· 学法导引 1,通过具体实例体会利润最大、用料最省、效率 最高等问题的实质，感受导数的应用价值，领悟导数 及其相关知识的本质特征。 毁 掌握利用导数解决一些实 数学建模 2.把握数学建模在实际问题中的应用，掌握利 际生活中问题的方法。 数学运算 用导数研究函数最值的方法 3.在解决生活中的最优化问题时，务必要关注 第二章 自变量的取值范围. 考点分类考点透析·典例制析 考点1 利用导数解决生活中的最值问题 ·核心总结 有难点突须， 解决生活中的最优化问题应注意以下3点。 导数是从实际生活和科 1.当问题涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系， 学领域中抽象出来的数学概 正确地列出变量间的关系式 念，由于导数的本质是峰时变 2在建立函数模型的同时，应根据实际问题的意义确定函 化率，因此实际生活中的瞬时 数的定义域 变化率问题都可以用导数来 3.求实际问题的最大值（最小值）时，一定要从问题的实际 描述 意义出发，不符合实际意义的情况应舍去 1.功与功率：在物理学 ⊙考题面(2022，北京四中高三检测)“十一”期间，各旅游景 中，通常称力在单位时间内微 区人数发生“井喷”现象，给旅游区的管理带来了严峻的考验，“十 的功为功率，它是功W关于 时间1的导数 一”过后，某旅游区管理部门对该区景点进一步改造升级，提高旅 2.醉时速度：在物理学 游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与设入x万元之间 中，物体在某一时刻的速度称 满足如下关系：y-器-a-h斋∈(2.小，且当=10时， 为除时速度，它是位移s关于 时间1的导数；速度关于时间 的导数是加速度 (1)求函数y=f(x)的解析式 3.降雨强度：在气象学 (2)求旅游增加值y取得最大值时对应的x值. 中，通常把在单位时间（如1小 国(1由题可知，当=10时y-得即影×10-aX102 时、1天等)内的降雨量称作降 雨强度，它是降雨量关于时间 h1=解样a= 的导数 146 第二章)导教及共应用]引 故)影-盖-h品xe2. 4.边际成本：在经济学 中，通常把生产成本y关于 2)时)求导，得f)-器-高}-那+50 产量x的函数y=f∫(x)的导 50x 数称为边际成本.边际成本 _(x-2)(.x-25) 50.x f(x)指的是当产量为x 令f(x)=0,得x=25(x=2不合题意，舍去) 时，生产成本的增加速度，也 所以当t>25时，f(x)在(2,25)上单调递增，在(25，t]上单调 就是当产量为x时，每增加 一个单位的产量，需要增加 递减，所以当x=25时，y取得极大值，也是最大值。 第 f(xo)个单位的成本. 当2<t≤25时，f(x)在(2，t]上单调递增.所以当x=t时， 5.线密度：通常把单位长 y取得极大值，也是最大值 度的物质质量称为线密度，它 综上，若>25，则当x=25时，y取得最大值： 是质量关于长度的导数. 若2<1≤25，则当x=1时，y取得最大值. 点评由于t与25的大小关系未知，则需对1进行分类讨论， 而不能想当然地认为x=25时，y取得最大值 ⊙考题2(2022，天津南开中学检测)某公司在一水域上建 一个演艺广场，演艺广场由看台I、看台Ⅱ、三角形水域ABC及 令方法归纳， 矩形表演台BCDE四个部分构成（如图所示）.看台I、看台Ⅱ是 解决最优化问题的基本思路 分别以AB,AC为直径的两个半圆形区域，且看台I的面积是看 1.最优化问题往往涉及 台Ⅱ的面积的3倍：矩形表演台BCDE中，CD=10米；三角形水 变量之间的变化，且存在函数 关系，从而可以利用导数解决 域ABC的面积为400√3平方米.设∠BAC=0. 最优化问题 (1)求BC的长.（用含0的式子表示） 2.导数是解决最优化问 (2)若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低 题的基本方法之一，利用导数 造价. 解决生活中的最优化问题的 D 表演台 基本思路是： 最代化 用函数表示 水拔 问题 实际问题 看台 希台1 及优化问 用导数解决 题的答案 放学问题 解析(1)因为看台I的面积是看台Ⅱ的面积的3倍， 所以AB=3AC. 在△ABC中，S△x= 2AB·AC·sin0=4005, 所以AC= 800 sin 147 /考点同步解读》高中效学选桥性必修第二册SD 由余弦定理可得BC=AB十AC一2AB·AC·cOs0= 4AC2-2 3ACcos 0=(4-2 3cos 0). 800 in 即BC= (4-2W3cos0)· 800 1 =40 2-3cos0(米). sina sin 0 所以BC=40 2-3cos 0 sin0 (米)，0∈(0，π.