第2章 6.2 函数的极值-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版）

考点同步解读〉高中就学选揉性必修第二册SD多 6.2 函数的极值 高考要求学业标准·考情分祈 ·考点分布 学科素养 ·学法导引 L.了解函数极值的概念，能从几何 1.函数的极值是函数的一种局部性质，结 的角度直观地理解函数的极值 合函数的图象直观感知极值的概念，明确极值 纳 直观想象 与导数的关系，并灵活应用 点附近函数的单调性与导数的符号特征。 查 数学运算 2.理解可导函数在某点取得极值的必要 2.掌握函数极值的判定及求法. 条件及函数的极值与导数的相互关系，把握求 第二章 3.理解导数与单调性、极值的关系. 函数极值的一般步骤. 考点分类考点透析·典例创析 考点1 求函数的极值 ·核心总结· ⊙归约总结， 般地，求函数y=f(x)的极值的步骤是： 函数的极值与导数的关系 1.求出函数的定义域及导数f(x). 1.函数的极值与函数的 2.解方程(x)=0,得方程的根（可能不止一个）. 导数之间的关系如图所示，由 3.用方程(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干 图可知，曲线在极值点处切线 个开区间，可将x,(x),(x)在每个区间内的变化情况列在 的斜率为0，曲线在极大值点 同一个表格中 左侧切线的斜率为正，右侧为 4.由f(x)在各个开区间内的符号，判断f(x)在f(x) 负：曲线在极小位，点左侧切线 0的各个根处的极值情况： 的斜率为负，右侧为正， 如果左正右负，那么函数f(x)在这个根处取得极大值： 如果左负右正，那么函数(x)在这个根处取得极小值： 如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点 ⊙考题司求下列函数的极值 2.可导函数的极值点 (1)f(r)=z2In z. 定是其导数为零的点：反之， (2)f(x)=sinx-cosx十x+1,0<x<2π. 导数为零的，点不一定是该函 解(1)函数f(x)的定义域为(0，十∞). 数的极值点，因此，导数为零 f'(r)=2rlnx+x.I=2xln x+x=x(2lnx+1). 的点（又称驻点、可疑点）仅是 令(x)=0,解得x=e. 该点为极值点的必要条件，其 当x变化时，了(x),f(x)的变化情况如下表： 充分条件是该，点两侧的导数 异号.举例如下： (0,et) et (et,十o∞) 导数为0的点是极位点： f(r) 0 f(x)=x,f(0)=0,x=0是 f(x) 极小值 1124 /第二章>导数及其应用 因此，x=e-+为函数f(x)的极小值点，极小值为f(e-+)=ⅱ极小值点。 导数为0的点不是极值 _22函数f(x)无极大值。 点：f(x)=x^J′（(0)=0，x=0 （2)函数f(x)的定义域为(0，2π)，不是极值点。 f(α)=cosx+sinx+1=1+\sqrt{2}sm(x+1)不可导点是极值点：f(x)= |x|x=0是不可导点，且是 令f’(x)=0，解得x=π或x-=。极小值点。 不可导点不是极值点： 当x变化时，f（x)，f(x)的变化情况如下表： f(x)=x^3·x=0是不可导 x│0.π）|_π⊥(π”)（π。2π）点。且不是极值点。 因此。x=π为函数f(x)的极大值点，极大值为f(π)=π+2； x=3”为函数f(x)的极小值点，极小值为f(2)-” 点弹求函数的极值同求函数的单调区间一样都必须先明确 函数的定义域。通过列表可以将函数的极值点直观呈现出来． 变式1-1求下列函数的极值。 （1)f(x)=x-3x^2-9x+5.（2)f(x)=+-2 考题2（2019，江苏卷节选)设函数f(x)=(x-a)(x-b)· (x-c)，a，b，c∈R，f′(x)为f(x)的导函数。应难点突磁… （1)若a=b=c，f(4)=8，求a的值。正确理解极值的概念 (2)若a≠b，b=c，且f(x)和f（x)的零点均在集合{一3.1.3)，极值是一个局部性概 念。由极值的定义知，极值只 求f(x)的极小值。 是某个点的函数值与它附近 解析（1)因为a=b=c，所以f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=点的函数值比较是最大或最 (x-a)^3． 所以f(4)=8，所以(4-a)^3=8，解得a=2. 小。并不意味着它在函数的整 个定义域内是最大或最小。即 （2)因为b=c，所以f(x)=(x-a)(x-b)^2=x^3-(a+2b)x^2+反映的是函数在某一点附近 b(2a+b)x-ab，的大小情况。 考点同步解读〉高中放学选择性必修第二册SD。 从而f)=3r-6e-2a号 2.函数的极值点一定出 现在区间的内部，区间的端点 令f(x)=0,得x=b或x=2a+b 不能成为极值，点。 31 3.函数的极值不一定是 因为a,620少都在集合-31.3中，且a≠b, 唯一的，即一个函数在某个区 间上或定义域内的极