第2章 6.1 函数的单调性-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版）

第二章〉导教及头应用儿 §6用导数研究函数的性质 6.1函数的单调性 高考要求学业标准·考情分析 一考，点分布 学科素养 一学法导引 1,理解可导函数的单调性与其导数的 1.通过导函数符号的特征体会单 关系 调性与导数的关系。 2.能够利用导数确定函数的单调性和单 直观想象 2,利用导数的正、负值可判断比较 调区间。 逻辑推理 复杂的函数在某区间上的单调性，从而 3,能够利用函数的单调性解决有关问 可以大致画出此函数的图象，为研究函 题，如证明不等式、求参数范围等 数的性质提供捷径 考点分类考点透析·典例剥析 考点1 求函数的单调区间 核元总结。 ⊙方法归纳， 导数的符号与函数的单调性之间具有如下关系： 利用导数求函数单调区间的方法 1.若在某个区间内，函数y=f(x)的导数f(x)>0,则在 1.解不等式法 这个区间内，函数y=f(x)单调递增： 利阴不等式法求函数的 2.若在某个区间内，函数y=f(x)的导数f(x)<0,则在 单调区间的基本步骤是： 这个区间内，函数y=f(x)单调递减 (1)确定函数f(x)的定 若在某个区间内，f(x)≥0，且只在有限个点为0，则在这 义城 (2)求导数f(x). 个区间内，函数y=f(x)单调递增；若在某个区间内，∫(x)≤0， (3)由f(x)>0(或(x) 且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数y=f(x)单调 O),解出相应的x的取值范 递减 国.当f(x)>0时，f(x)在相 ⊙考题面求下列函数的单调区间. 应的区间上是增函数；当 了(.x)<0时，f(x)在相应的 (1)f(x)=3.x2-lnx.(2)fx)=x·e. 区间上是减函数 (3)f(x)=x+1 (4)结合定义城写出单调 区间. 解ǖ(1)函数的定义域为(0，十∞)，∫(x)=6x-1 2.列表法 6x1,令fx>0,即6x1>0. 利用列表法求函数的单 调区间的基本步骤是： “x>0,6r2-1>0,z>6 (1)确定函数f(x)的定 6 义域 11 考点同步解读〉高中放学选择性必修第二册SD台 令fx)<0,即6x-10. (2)求f(x),令f(x)=0, 解方程，求出它在定义域内的 >0,6x2-1<0,0< 一切实根 6 (3)把西数f(x)在间断 “函数)的单调递增区间为。+，单洞递减区间为 点（即f(x)的无定义点）和上 面的各实根按由小到大的顺 (0. 序排列起来，然后用这些，点把 函数f(x)的定义域分成若干 第 (2)函数的定义域为（一∞，十o∞）. 个小区间 ,f(x)=(x2)'er+x2(e)'=2.e-x2er=er(2x-x2). (4)确定f(x)在各个小 令f(.x)=0,得1=0，=2，由于e>0, 区间的符号，根据了(x)的特 第二章 .用x2分割定义城D,得下表： 号判定函数f(x)在每个相应 (-00,0) 0 (0,2) 2 (2,十∞) 小区间上的增减性 堡 f(r) 0 + 0 办特别提园： f(r) 1,在利用导数讨论函数 .函数f(x)的单调递减区间为（一∞，0）和(2，十∞)，单调 的单调性时，首先要确定函数 递增区间为(0,2) 的定义域，在定义域内，通过 讨论导数的符号来确定函数 (3)通数的定义城为(-0.0U(0,+e∞)f)=1-是 的单调性， 令f(x)=0,得1=一1，x2=1,用，x2分割定义城D,得 2.如果一个函数具有相 下表： 同单调性的单调区间不止一 个，那么这些单调区间中间不 1 (-1.0) (0,1) 1 (1,+0∞) 能用“U”连接，可用“，”隔开 f(x 0 0 + 或用“和”连接 f(x) 3.在划分单调区间时，除 了要注意使导数等于零的点， ∴.函数f(x)的单调递减区间为（一1,0）和(0,1)，单调递增 还要注意在定义城内不连续 区间为(-∞，一1)和(1，十∞). 的点和不可导的点。 ⊙变式用求下列函数的单调区间. 4.当不等式f(x)>0或 (1)y=x-2.x2+3.(2)y=ln(2x+3)+x2. f(x)<0不易求解时，可通 过列表法求函数f(x)的单调 区间. 5.区间的端点可以属于 单调区间，也可以不属于单调 区间，对结论没有影响. 12 第二章〉导教及共应用小 考点2 已知函数的单调性求参数的取值范围 ·核心总结 意难点突破+ 已知函数的单调性求参数的取值范围是一种非常重要的 已知函数y=f(x),x∈[a,b们 题型.若函数(x)在某个区间上单调递增，则∫(x)>0在该区 的单调性，求参数的取值 间上恒成立：若函数f(x)在某个区间上单调递减，则f(x)≤0 范围的步骤 在该区间上恒成立， L.求导数y'=(x) 2.转化为(.x)≤0(>0) ⊙考题2(2022，江西省南昌市模拟)设f(