第2章 5 简单复合函数的求导法则-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版）

考点同步解读〉高中放学选摔性必修第二册SD色 §5 简单复合函数的求导法则 高考要求学业标准·考的分析 一考点分布· 学科素养 一学法导引 L.能理解简单复合函数的复合过 1.在学习过程中理解“复合”的意义，能够 程，能指出复合过程中的自变量、 正确地将复合函数分解为两个（或多个）简单 第 童 因变量及中间变量分别是什么. 函数 数学抽象 2.对复合函数求导时，应明确各步是对哪 逻辑推理 第二章 2.能正确地运用复合函数的求导 个变量求导，最后还应将中间变量转化为自 法则求简单复合函数的导数。 变量. 3.体会复合函数求导的价值. 考点分类考点透析·宾例剑析 考点1 复合函数的求导法则 核心总结 ②方法归纳… 般地，对于两个函数y=f(u)和u=e(x),如果给定x 复合函数的求导 的一个值，就得到了4的值，进而确定了y的值，那么y可以 一般地，对于两个函数 表示成x的函数，称这个函数为函数y=f(u)和=o(x)的复 y=f(u)和u=g(x),如果通 合函数，记作y=f(o(x),其中u为中间变量 过变量，y可以表示成x的 复合函数y=f(g(x)对x的导数为y',=[f(p(x)]' 函数，那么称这个函数为函数 f()g(x),其中u=g(x). y=f（)和u=g(x)的复合函 说明：y,表示y对x的导数 数，记作y=f(g(x).如函数 ⊙考题司求下列函数的导数. y=(2x十5)是由y=2和 u=2.x+5复合而成的. (1)y=e2+1.(2)y=(2x-1) (3)y=5log2(1-x). 复合盛数y=f(g(.x)的 (4)y=sin'x+sin 3x. 导数和函数y=f(),4= 点拨先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导 g(x)的导数间的关系为y,= 解析(1)函数y=e2+1可看作函数y=e”和u=2.x十1的复 y·u,即y对x的导数等于 合函数， y对u的导数与w对x的导 ∴.y=yi·u=(e)'(2.x+1)'=2e"=2e2r+i 数的乘积 注意以下几点： (2)画数y一(2x厅可看作画数)=u3和4=2x一1的复 L.分清复合西数是由哪 合函数， 些基本初等函数复合而成的， ∴y2=y·2=(u3)'(2x-1)'=-64=-6(2x-1)4= 适当选择中间变量 106 第二章)导教及共应用引 6 2.分步计算中的每一步 (2.x-1) 都要明确是对哪个变量求导， (3)函数y=5log2(1一x)可看作函数y=5log2u和u=1一x 而其中要特别注意的是中间 的复合函数， 变量的系数.如(sin2x)' 5 品y·5ogw)'-x2n2 2cos2x,而不是(sin2x)' cos 2.. (4)函数y=sin3x可看作函数y=3和u=sinx的复合函 3.根据基本初等函数的 数，函数y=sin3.x可看作函数y=sinu和v=3.x的复合函数， 导数公式及导数的运算法则， y=(w)'·(sinx)'+(sinv)'·(3x) 求出各函数的导数，并把中间 =32·c0sx+3c0sv 变量换成自变量，如求y= =3sin2 cos x+3cos 3.. ⊙变式指出下列函数的复合关系， sin(2x+哥)的导数，设y (1)y=(2-x2)月.(2)y=sinx2.(3)y=cos(T-x snu,u=2x+晋，则=u =2cosu=2cos(2x+5）月 4.熟悉了复合西数的求 导后，中间步骤可省略不写， ⊙考题2求下列函数的导数. (1)y=ln(2x+3). (2=(2x-x+月 (3)y=sim(2x+哥） 点拨第一步，分层（从外向内分解成基本初等函数，用中间 变量)：第二步，层层求导（对分解所得的基本初等函数进行求 导)：第三步，作积还原（将各层基本初等函数的导数相乘，并将中 间变量还原为原来的自变量)， 解析(1)设y=nu,u=2.x+3, 则==×2=2异g (2)设y=,u=2x-x+ 则=y·=4r×(6x2-1-子) =4(2x2-x+)(6x2-1-》 107 /若点同步解读，，高中放学选择性必修第二新BSD么 （3)设y=n^u=sinvxv=2x+5， 则yx=y·un·vx=2u·cosv∙2=4snv∙cosv=2sn2v= 2sin(4x+^3) 点评对于复合函数的求导，应分析复合函数的结构，灵活恰 当地选取中间变量，正确运用求导公式，要遵循“分解—求 导——回代”的原则。 变式12|求下列函数的导数。 (1)y=(2x2-1k．(2)y=sn(_2^x+)，（3)y=e= 考点2│函数及其导数性质关系的应用 0■点奖■… 核心总结， 函数与其导数性质关系在解决有关导数f’（x)的性质(奇对导函数的奇偶性 偶性，周期性，图象的对称性)的