第2章 2 导数的概念及其几何意义-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版）

考点同步解读〉高中效学选揉性必修第二册SD色 §2导数的概念及其几何意义 高考要求学业标准·考钠分析 ·考点分布 4 学科素养 ·学法导引 1.了解导数概念的实 1.结合教材实例的具体背景，理解函数在一点处的导数， 际背景 数学抽象 体会导数值的实际意义，明晰导数即瞬时变化率的数学表达 第 2.理解导数的几何 直观想象 2.通过平均变化率与割线斜率之间的关系，从形的角 童 意义 度理解导数的几何意义，体会用割线逼近切线的变化过程. 第二章 考点分类考点透析·典例剖祈 考点1 函数f(.x)在x=x处的导数 。核心总结 ②归纳总结… 如果当△0时，平均变化率Ay无限趋近于一个确定的 对导数概念的理解 1.函数在某点处的导数 值，即会有极限，则称y=代)在x=处可导，并把这个确 就是在该点处的函数值的改 定的值叫作y=f(x)在x=x。处的导数（也称为瞬时变化率）， 变量与自变量的改变量之比 记作∫()或y=x,即 的极限。因此，它是一个常数 而不是变量 f'(to)=limAy=lim f(x+△x)-f(x) 2.函数y=f(x)在x=x A-0△x Ar-0 △x ⊙考题1)求函数y=在x=2处的导数. 处可学，是指音△一0时公 的极限存在，否则，就说函数在 (2)已知f(x)=√x十2，求f(2). x=x处不可导，或无导数 解街泥(1)方法一（导数定义法） 3.f(m)的不同表达方式： 4 4 4 “Ay=(△x+2)一2=(Ax+2N -1=- (△x)2+4△x (△x+2) y=(o) △x+4 △x+4 =limr）-f .imy=一im(△z+2)2=-1. x-Xo (Ax+2)2, 40△x 方法二（导函数的函数值法） =m+△)-) △r 4 :△y=(x+△xy2 4-4△x(2x+△x) x2(x+△r)2, ②归纳总结… 品 利用导数的定义进行计算 x2(x+△x)2 由函数y=f(x)在x=x y=m2一mF+ 42+A=-8 处的导数的定义f(x)= △+0△z ∴fx=2=-1. 画+分号 △x 188 /第二章>导教及共应用 (2),△y=Wx+△x+2-√x+2, 中的△x是分子f(x0十△x) :y=+△x+2-x+2 一f(x0)中第一个括号(x。十 △x △x △x)减去第二个括号(xo)得到 =(x+4x+2)-(x+2) 的，即△x=(x十△x)-(a), △x(√x+△x+2+√/x十2) 则可推出 1 limf(3r)-f(r) 3△x √x+△x+2+x+21 =f(). ∴f(.x)=lim Ay.=lim 1 1 4m△x√x+△x+2+√x+22√x+2 lim)-f+△ 第 -△x .f(2)= 1 1 =f(x). 2√2+24· 点润方法二中提到的导函数会在下一节中学到。 +--) 2△x ⊙变式回(1)求函数y=x十1在x=1处的导数. ='(x), e (2)求函数f(x)=上在x=1处的导数. 计算此类题，只需配系数 即可，如 hm+2A）--4 △r =3·nm+2△)-f-△2 d 3△x =3f(.x): Rro-7At)-f(x) ⊙考题2若函数f(x)在x=Q处的导数为A,求 △r lim f(a十△x)-f(a-△x】 2Ar 解析由函数f(x)在x=a处的导数为A, lim)r) h 知lima+△r）-fa)=A, =2f(x). △U △x 又以一△x代替△x,则有lim fa-△x)-fa)=A 一△x 故limf(a+△z)-fa-△) 2△x =limf(a+△x)-fa)+fa)-fa-△z 2△x -ma+2a+画@-a] △x △x -[A+lim Ka-D Ka -△x -号A+A)=A 89 考点同步解读〉高中放学选揉性必修第二册SD色 ⊙变式12设函数f(x)在点x处可导，试求下列各极限 的值 (1)lim f(xw-△x)-f（a) △x (2)若∫()=2，则lim一)-fxo) 2k 考点2 求曲线的切线方程 ·核心总结 借助于导数的几何意义可求出切线方程，也可巧妙地求出 切点的坐标，或以导数为工具，解决有关面积、夹角等几何问题 误区防错 第二 求切线方程时，首先要判断所给的点是否在曲线上.若在 1.直线与曲线相切≠直 曲线上，可用求切线方程的步骤求解；若不在曲线上，可设出切 线与曲线仅有一个交点 点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得到切线 我们在学习直线与（或 方程 椭圆)的位置关系的时候，在 判断直线是否与圆（或椭圆） ⊙考题3求曲线y=+上-3在x=2处的切线方程. 相切时，常利用△来判断交，点 的情况.即若直线与圆（椭圆） 解设y=f(x),则f(x)=x2+1-3. 只有一个交点（△=0）