第1章 3.2 等比数列的前n项和-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版）

第一章〉数列儿 3.2等比数列的前n项和 高考要求学业标准·考情分祈 ·考点分布· 学科素养 学法导引 1.类比等差数列前n项和公式与推导，掌握等比数列前 1.掌握等比数列的前 n项和公式与推导方法，掌握错位相诚法求和的基本方法， n项和公式 2.利用等比数列前n项和公式时，务必要注意公比q 是否等于1，以便选择恰当的公式求和. 数学运算 2.能灵活运用等比数 3.挖掘等比数列前n项和公式的特征，体会等比数列 逻辑推理 列的前n项和公式 前n项和公式与指数函数的联系. 及其性质解决一些 4.重视利用方程思想、整体思想、分类讨论思想及等比 简单的问题。 数列的性质解决等比数列的计算问题，提升数学运算等核 心素养 考点分类考点透析·典例制析 考点① 等比数列的前项和公式 ·核心点结。 章难点突破： 首项为a1,公比为g的等比数列{am}的前n项和公式为 1.等比数列前n项和公 a1(q=1), 式的理解与应用 S a(1-)-4-a4(g≠1). (1)等比数列前n项和公 1-q 1-q 式的推导方法一般采用的是 错位相减法，就是在前项和 ⊙考题司(2022，东北师大附中测试)(1)在等比数列{an》 式子的两边同乘以公比，通过 中，s=号s=364求a 相减可以抵消相同的项，从而 得到等比数列前n项和S: (2)在等比数列{an}中，已知a1十an=66,a2a-1=128,Sn= (2)当q=1时，等比数列 126,求n与q. 前n项和公式不能用错位相 (3)设等比数列{an}的公比g<1,前n项和为S.已知a3= 减法推导而得，因为此时等比 2,S4=5S2,求{am}的通项公式. 教列是常数列，所以S=a1. (3)当q≠1时，等比数列 每1)由已知5≠2S.则≠1.又S=号5=364，故 9 前n项和S。有两个公式.当 a(1-g3)_13 已知a1,g与n时，用S= ① 1-g 91 a目二42(g≠1)较方使：当 1-9 a1(1-g)_364 1-9 9· ② 已知a1,g与ar时，用S= ②÷①，得1+q=28,即q=3. 二a(g≠1)较方便.需要 1一g 49 考点同步解读〉高中效学选摔性必修第二册SD多 可求得a=号故a,=ag=3 强调的是必须慎用公式，即注 意q=1与9≠1的不同情况 (2)由等比数列的性质可知a1an=a2am-1=128. 2.等比数列前n项和公 又由a1十an=66,联立解得a1=2,am=64或a1=64,an=2, 式的画数特性 显然9≠1. (1)当公比q≠1时，等比 当41=2,4，=64时，由S=4二a4=2二64=126，解得 数列的前n项和公式是S.= 1-q1-q q=2. a1一2，它可以变形为S, 1一9 第 由am=a1d-1得64=2×2m-1,即n=6: 产g·+接A 当a1=64,a,=2时，同理，可求得g=2,n=6. 笔 巴则上式可写成8 综上所迷，m的值为6，公比g=2或号 一Ag十A的形式.由此可见 (3)由题意知4≠0，S=4二2，则 非常数列的等比数列的前n项 攀 1-g 和S是一个关于n的指数西 a19=2, 数与一个常数的和，且指数西 ① a1二2=5×a1二4） 数的系数与常数项互为相反 1-q 1-q ② 数，则数列S,S,S…,S 由②得1-g=5(1-(),则(g-4)(-1)=0, 的图象是函数y=一Ag十A 所以(q-2)(q+2)(q-1)(q+1)=0. 图象上的一群孤立的点.如等 因为q<1,所以q=一1或q=一2. 比数列1,2,4,8，…的前n项 当9=一1时，由①得a1=2, 和S。=2m-1,点(n,Sn)是画 则{an}的通项公式为an=2×(一1)1； 数y=2一1图象上的一系列 当g一2时，由0得41=2 点，如图所示 y y=2-1 则{a.}的通项公式为a,-2×(-2) ⊙考题2（经典，重庆卷）已知等差数列{a.}满足a-2,前3项 1 和S=号 6123 (I)求{an}的通项公式 (2)当公比q=1时，因为 (2)设等比数列{b}满足h=a,6=a,求{b,}的前n项和T. a1≠0，所以Sw=na1是关于n 解析(1)设{an}的公差为d,则由已知条件得 的正比例函数（常数项为0的 4+2=2.3a+324=号 9 一次函数).则数列S,S, S,….S,…的图象是正比例 即am+2d=2,a+d=2 3 函数y=ax图象上的一群孤 立的点， 解得a=1,d=2 由上可知，“数列{a,}是 等比数列曰S=一Ag十A 故通项公式为a,=1+”2,即a=”空， 2 (Aq≠0，g≠1，n∈N)”可作 150 /第-章就列/ (2)由(1)得6=1，h=46=151=8. 为判定非常数列{a.)是等