第1章 3.1 等比数列-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版）

考点同步解读〉高中敛学选桥性必修第二册SD色 §3等比数列 3.1 等比数列的概念及其通项公式 高考要求学业标准·考情分析 一考点分有· 学科索养 一学法导引。 1.通过实例理解等比数列的概念， 1.类比等差数列的定义、通项公式，掌握 能根据等比数列的定义判断（或 等比数列的定义，通项公式及应用。 证明)一个数列是否为等比数列. 2.把握等比数列的通项公式及等比数列 第二量 的性质是应用的基础，进一步体会基本量思想 2.理解并掌握等比数列的通项 数学运算 与方程思想在计算中的应用. 公式 逻辑推理 3.要善于从指数型函数的角度处理等比 3.能在具体的问题情境中发现数 数列的相关问题。 列的等比关系，并能正确地运用 4.重视整体思想在等比数列计算中的 有关知识解决问题 应用。 考点分类】考点透析·典例到衍 考点1 等比数列的概念 核心总结 章难点突破… 1.等比数列的概念 对等比数列定义的理解 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都 L,在理解等比数列的概 是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为 念时，应注意以下“三性”： 等比数列的公比，通常用字母q表示(g≠0) 即在数列(a}中，如果a出=q(g为常数且q≠0)对任意 a -9 的n∈N都成立，则称数列{an}为等比数列，常数g称为等比 的径意性，即 心例式的有序性 数列的公比 n在N中任意泉 pa,作分于， 值。上式均成立 分孝 2.等比中项 2.在定义中，我们规定9≠ 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列， 0,这是因为若q=0,则4出= 那么G叫作a与b的等比中项.此时，G子=ab. 0,所以4+1=0，即数列中存 由a,G,b成等比数列可知：①a,G,b均不为零：②由S 在为0的项，于是出就没有 名可知G2=ab,故ab>0,即a与b必须同号：③由G=ab知 意义，因而也就不符合等比数 G=士√ab,故两个同号的数a,b的等比中项有两个，即士√ab. 列的定义，所以我们规定公比 9≠0.类似地，由2=q有意 ⊙考题1(2022，临川一中测试)试判断下列数列是否为等 比数列： 义可知，一个数列{a.}为等比 36 第-章效列/ (1)a.=(-1)-1(3)",n∈N. 数列的一个前提条件是a.≠ (2)an=(-2)w3,n∈N“. 0,即各项均不为零 (3)am=n·2",n∈N°. 3.定义中的“从第2项 起”，即如果一个数列不从 (4)a.=-1,n∈N°. 第2项起，而是从第3项，第4 解只需研究a中的值是否为常数，不管n(∈N)如何变化. 项，…起，每一项与它前一 项的比是同一常数，那么此数 (1)由题意得an=(一1)-1(3)"，a+1=(-1)"(3)中中1， 列不是等比数列（但可以说从 则4=（一1)”(3)+t =-3 第2项，第3项，…起是一 am(-1)-1(3)n 个等比数列)」 由的任意性可知这个数列是等比数列 (2)由题意得an=(一2)-3，a+1=(一2)-2， 则4m+1=(一2)2 aw（-2)=-2. 办难点突破 由n的任意性可知这个数列是等比数列. 对等比中项的理解 (3)由题意得an=n·2",a+1=(n十1)·2m+1, 1,同号非零两数才有等 则“=m+1）:2=2.m+1=2+2 比中项，等比中项有两个，它 n·20 们互为相反数 这个比值随的取值不同而不同，即它不恒为常数，所以这 2.一个等比数列从第2项 个数列不是等比数列. 起，每一项（有穷等比数列末 （④)由题意得a=a,=-1,则会-1 项除外)是前一项与后一项的 等比中项 由”的任意性可知这个数列是等比数列. 点评判断一个数列是不是等比数列，切不可以偏概全，要证 明一个数列是否是等比数列的依据是看它是否满足等比数列的 定义 ⊙变式11(2022，湖北省实验中学月考)有下面四个数列： ①1,1,2,4,8,16,32,64 ②在数列{an}中，已知2=2,4=2： ③常数列a,a,…,a,…: ④在数列{an}中，am出=g(g≠0)，其中n∈N. 其中一定是等比数列的有 (填序号). ⊙考题2(2022，淮北一中测试)(1)求√2+1与v2-1的等 比中项。 (2)在数列{an}中，若an+1为an和ar+2的等比中项，则数列 {am}是否为等比数列？并证明你的结论 37 考点同步解读〉高中效学送摔性必修第二册BSD乡 (3)在等差数列{an}中，公差d≠0，且a1,aaag成等比数列， 女解题通法… 则十a十等于多少？ 1,求两个同号的数a,b a2十a1十a10 的等比中项G,只需将a,b的 点拨在(1)中，只需代入G=士√b便可求出两个数的等比 值代入公式G=士Vab即可. 中项.在(2)中，由等比中项