第1章 2.2 等差数列的前n项和-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版）

第一章〉数列儿 2.2等差数列的前n项和 高考要求学业标准·考情分祈 ·考点分布· 学科素养 ,学法导引· 1.理解并掌握等差数列的前n项 1.理解等差数列前项和公式与等差数列 和公式的推导思路和方法，掌握 通项公式的关系，把握等差数列前n项和公式 “倒序相加”的求和方法。 的特征及应用，体会倒序相加求和方法的特点 2.能依据等差数列的求和公式，得 数学运算 2.从二次函数的角度理解等差数列前n 出与等差数列前n项和相关的 逻辑推理 项和的本质特征，利用函数的思想方法解决等 某些性质. 差数列的问题 3.能够灵活运用等差数列的前n 3.重视利用方程思想、整体思想及等差数 项和公式及其性质解决一些简 列的性质解决等差数列的计算问题. 单的问题。 考点分类考点透析·兵例胡析 考点1 等差数列的前n项和公式 ·核心总结 有难点突破… 设等差数列{aa}的首项为a1,公差为d,前n项和为Sm,则 1.等差数列{a,}的前n S,=a+ae十a+…+am=na+anl 项和公式中各含四个变量，即 2 S,n,a1,a。或S,n,a,d,利 这个公式表明：等差数列前n项的和等于首末两项的和与 用方程思想即可“知三求一” 项数乘积的一半。 2.结合等差数列的通项 将等差数列的通项公式am=a十(n一1)d代入上式，得 公式a,=a1十(n-1)d,在等 S.-na+un Dd. 差数列问题中共含有五个变 2 量，即首项a1,公差d,项数， ⊙考题1(2022，东北有才中学检测)已知等差数列{a.}的 末项a,及前n项和S,若已 前三项为a一1,4,2a,记前n项和为Sm 知其中的任意三个变量，利用 (1)设Ss=2550,求a和k的值. 等差数列的通项公式及前n 项和公式，通过解方程（组）便 (2)设6，=S,求十h十b十+b-的值. 可求出其余的两个变量，即 解折(1)由已知得a1=a一1，a2=4,a4=2a, “知三求二” 又2a2=a1+a3,.8=(a-1)+2a,∴.a=3. 3.我们可以根据梯形面 积公式的两种推导方法“补 .a1=2,公差d=a2一a1=2. 形“分割”理解等差敦列的两 由8=a+2D4,得S=2k+2D.2=250. 2 个前项和公式，如图所示. 23 /考点同步解读>】高中效学选棒性必修第二册SD台 即k2+k一2550=0，解得k=50或k=-51(舍去)， .a=3,k=50. (2)由S。=a,+nn2D, 2 S.nata) 2 得S=2m+n02》.2=m2+,h.-=3=n十1. (补成平行吗边形) 2 又，b3,b,b1,…,bm-1仍是等差数列，且共有n项， 4.14 bs+b,+bm十…+b1=n6+a_n44m=2r+2n. a,=a -(n-1)d 一 2 2 S.-na,+n1-卫a 2 点评解答等差数列问题的基本方法是方程法，且前项和 第二堂 (分割成一个平行四边形 公式有两种形式，应灵活选用， 和一个三角形) ⊙考题2(2022，雅礼中学检测)已知在等差数列{an}中： （a1=号d=-2S。=-15,求m及a (2)a1=1,am=-512,Sm=-1022,求d. (3)S=24,求a2十a4. 盟(1：S。=m·多+m2》.(2)=-15,整理得 m2一7m-60=0,解得m=12或n=-5(舍去)， a.=ae=+12-1DX(-2）=-4 (2由S.=maa2=n:1,512=-1022,解得n=4, 2 2 又由an=a1+(n-1)d, 即-512=1+(4-1)d,解得d=-171. (3)方法一设等差数列的首项为a1,公差为d, :s=5a1+5x(5-D4=24. ∴5a+10d=24,即a+2d=24 5 da+a=4+d+a+3-2a,+20=2x得-袋 方法二由S=5a2=24得a,+a=餐 2 iata,=ata。- 124 第一章〉数列∥ 考点2 等差数列的前项和公式与二次函数 ·核心总结 归纳总结： 等差数列a.的前n项和公式S=+21 2+ 等差数列的前n项和公式 与二次函数的关系 a-号)n,设A=号，B=a一号，则等差数列的前n项和公式 1.当d≠0时，等差数列 可写成S。=An十Bn(A,B∈R),由此可见，等差数列的前n 的前n项和S.是关于n的二 项和S.形式上是定义在正整数集（或其子集）上关于n的二次 次画数：可以写成8=号十 函数，且不含常数项，其图象是函数y=An2十Bn上的一列离 (a一号)m,因此S可以看作 散的点(n,Sm), 由此可得判定等差数列的第三种方法一前项和法，即 函数y= r+(a-) 设数列{an}的前n项和为Sn,则S=A十B(A,B∈R)台数 (x∈R),当x=n时的函数 列{an}为等差数列. 值.所