第5章 一元函数的导数及其应用 单元知识整合1 微专题妙总结-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

/若点同步解读。“高中放学选择性必经第二新RIA色 单元知识整合 -，微专题妙总结 内涵翻释知识融汇·方法总结）g(x_2)⇒f(x)_m>g(x)_mx 微专题1_用导数研究恒成立与存在性（2022·浙江嘉兴模拟)已知两数f(x)=-xlnx+a(x+1)，a∈R若关于x 问题 的不等式f(x)≤2a在[2，+∞)上恒成立。求a 核心提炼：不等式恒成立与存在性问题本的取值范围。 质上可转化为最值问题。通常有以下两种转化 据∵f(x)≤2a，∴a<”? 思路： (-)转化为一个函数的最值问题 若不等式f(x，λ)≥0(x∈I)(λ为参数)恒 令g(x)=x””x=2， 成立，可转化为f(x。λ)m≥0.进而研究f(xλ)、则g′(x)=て-^” （x∈I)的最小值；或者先分离参数，变形为λ≥令l(x)=lnx-x+1， g(x)或λ≤g(x)(x∈I)恒成立，进而转化为求 则t′(x)=c-1=1-^x 解λ≥g（x)_mx或λ≤g(x)_m(x∈D)． 若存在x∈I，使得不等式f(x，λ)≥0(λ为由’(x)>0解得0≤x≤1，由t(x)<0解 参数)成立，可转化为f(x。λ)_m≥0，进而研究得x>1， f(xλ)(x∈D的最大值；或者先分离参数，变故t(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞) 形为λ≥g(x)或λ≤g(x)(x∈I)恒成立，进而上单调递减。t(x)_mx=t(1)=0， 转化为求解λ≥g（x)_m或λ≤g（x)_m(x∈I)．t(x)≤0，所以Inx≤x-1， (二)转化为两个函数的最值问题∴g'(x)≥0.g(x)在[2，+∞)上单调递 当转化为一个函数的最值，该函数的最值增，∴g(x)m=g(2)， 不易求解时，可考虑将恒成立与存在性问题转a≤g(2)=2|n2， 化为两个函数的最值。“任意”与“存在”共存的a的取值范围为(—∞，2|n2]。 命题转化思路如下：习题1（2022·徐州模拟)已知函数 (1)∀x_1∈[a，b]∀x_2∈[e.d]f(x_1)>f(x)=e-ax-1 g(x_2)⇒f(x)_m>g(x)_m；（1)当a=1时，求f(x)的极值。 (2)∀x_1∈[a，b]，∃x_2∈[c，d]，f(x_1)>（2)若f(x)≥x^2在x∈[0，+∞)上恒成 g(x_2)⇒f(x)_m>g(x)_mm；立，求实数α的取值范围。 (3)∃x_1∈[a，b]∃x_2∈[cd]f(x_1)> g(x_2)⇒f(x)_mx>g(x)_m+ （4)∃x_1∈[a，b]，∀x_2∈[c，d]，f(x_1)> 8 第五章一元品教的教及共应用/ ⊙例题2(2022·江苏镇江模拟)已知函 .f(x)mm=f(1)=1十a2. 数f)=x+g)=一r-n(-,其中 由1+a≥2-ln2得a≤-√1-1n2. 又-1<a<0, a≠0. ∴.-1<a≤-w√1-n2. (1)若x=1是函数f(x)的极值点，求实 数a的值及g(x)的单调区间. ②当-2<a<-1时，x>-a. (2)若对任意的x1∈[1,2]，3x2∈[-3， 函数f代x)=x十C在[1，-a)上是减函 一2]使得f(x)≥g(x2)恒成立，且一2<a<0, 数，在（一4,2]上是增函数. 求实数a的取值范围 .f(x）mim=f(-a)=-2a, 哥通(1)由题意得了(x)=1- 2, -2a≥2-lh2,得a≤-1+号n2. .f(1)=0,即1-a2=0, ∴.-2<a<-1. ∴.a=1或a=-1. 综上所述，a∈(-2，一√1-ln2]: 经检验，a=1或a=一1时，x=1是函数 ⊙习题2(2022·湖北宜昌模拟)已知函 f(x)的极值点， .a=1或a=-1. 数f(x)=e+e,其中e是自然对数的底数， 由g(x)=-x-ln(-x),x<0, 已知正数a满足：存在xo∈[1，十∞)，使得 则g'(x)=-1-1=-x-1 f(a)<a(-一x十3.xo)成立，求正实数a的取 值范围. 令g'(x)>0,则-1<x<0 g(x)在（一o∞，一1）上单调递减，在 (一1,0)上单调递增. (2)对任意的x∈[1,2]，3x2∈[一3， 一2]，f(x1)≥g(x2)恒成立， 即对任意的x1∈[1,2]，x2∈[一3，一2] 时，f(x)min≥g(x)min. 当x[-3,-2]时g《)=-1-1<0 .函数g(x)在[一3，一2]上是减函效. …g(x)mm=g(-2)=2-ln2. 微专题2 导数中的隐零点问题 当x∈[1,2]时，f(x)=1-4 核心提炼：用导数研究函数∫(x),有的导 函数f(x)的零点不易求解，但又能根据函数 (x-a)(x十a,-2<a<0, 零点的存在定理，得到f(x)一定有零点，我们 称这样的