第4章 数列 单元知识整合1 微专题妙总结-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第四章教列 单元知识整合 一、微专题妙总结 内洒啊释识胎汇·方法总结 N),若{am}为单调递增数列，求实数入的取值 微专题1 数列的单调性与最值 范围。 四 1.数列单调性的定义 解都方法一（定义法）：{an}为单调递 增数列， 若集合ICN,对Vn∈I,都有am+1>a, .a+1>an对Hn∈N'成立， 则称数列{an}在I上单调递增； 即(1十1)2+λ(n+1)+3>n2+n十3. 若集合ICN,对Hn∈I,都有am+1<am, 化简得>一2m一1对一切n∈N*都成立. 则称数列(an}在I上单调递减， >一3，∴λ的取值范围是(-3，十0∞). 特别地，若a+1>am对n∈N成立，则 方法二（函数法），{4，}为单调递增数列， 称数列{an}为递增数列： ∴.二次函数f(x)=x2十λx十3的对称轴 若a+1<am对n∈N成立，则称数列 {a.}为递减数列. =一合在1和2中点的左侧， 2.数列单调性的常用判断方法 即-< >-3. (1)定义法：利用数列单调性的定义判断， 即数列{an}单调递增台am+1>aw对任意n(n∈ .入的取值范围是（一3，十∞）. N)成立： ⊙习题司(2022·西安检测)已知{a.}是 数列{an}单调递诚台a+1<an对任意n 公差为d的等差数列，它的前n项和为Sm, (n∈N)成立. S,=2S十4，山，=1十4.若对任意的n∈N,都 (2)作差法：计算a+1一an的结果.若a+1 am>0,则数列{an}单调递增：若a+1一an<0, 有b,≤bs成立，则a1的取值范围是 则数列{am}单调递减 ⊙例题2(2022·苏州检测)已知数列 (3)作商法：计算4的结果」 a,的通项a,=(n+1)(”(a∈N).试问 an {a。}有没有最大项？若有，求最大项的项数：若 若士>1(a>0),则数列{an}单调递增； 没有，请说明理由. 若a中<1(an>0),则数列{an}单调递减。 解抓方法一（作差法） a+1一aw (4)函数法：记an=f(n).考察函数f(x) (n+2)· 10 -6+D·(”=(.7 的单调性，进而求出数列{an}的单调性。 ∴.当n<9时，aa+1>am ⊙例题1(2022·常州模拟)已知数列 当n=9时，a+1=dw； {am},am=π2十n十3（其中入为常实数，n∈ 当n>9时，aa+1<am… 73 考点同步解读〉高中敛学选棒性必锋第二册RA多 故a1<a2<<a=a6>a11>a12>…, (1)若已知S.为关于n的表达式，即S.= .该数列有最大项，为第9、10项， S,=1, f(n),则可直接用an= 求得通 即ag=a1o 1010 S。-Sw-1,n≥2 119· 项a.但要注意检验n=1的情况 方法二假设{an}有最大项，设{an}的最 (2)若已知am与S.的等式关系，即一个等 大项为a 式中，既有am,又有Sm,通常有以下两种转化方 [ak≥a+1, 则 法：①降下标（升下标）相减，消去S。,得到4 a4≥ak-1, 与ar-1(或am与am+i)的递推关系.然后借助递 +1D)≥+2（出）。 推关系求解am.②把am用Sm一S。-1替换，得到 即 S,与S。-1的递推关系，则可先求出S,再根据 第五章 +1D()≥) Sn求am 10k+10>11k, 整理得 ⊙例题3正项数列{a》的前n项和S.满 模 11k+11≥10k+20. 块 足：S%-(2+n-1)S。-(2+n)=0. ∴.9≤k≤10，k=9或10. (1)求数列{am}的通项公式am. ∴.{an》中的最大项为ag=an= 1010 119. (2)令么一十品数列的前项和 n+1 ⊙习题2(2021·济南检测)已知数列 (an}满足a2=2a1=4,且an+1一bn=2am,数列 为工.证明：对于任意的n∈N,都有T<品 {b.}是公差为一1的等差数列. 解(1)因为数列{a}的前n项和Sn满足 (1)求证：数列{a一n}是等比数列. S%-(n2+n-1)Sm-(2+n)=0, (2)求使得a1十a2十…十a.>2200成立 所以当n=1时，S一(12十1一1)S 的最小正整数n的值. (12+1)=0. 即S-S1-2=0,解得S1=2或S=-1. 因为数列{am}是正项数列，所以S=2. 因为%-(n2十1-1)Sm-(2+n)=0, 所以[Sm一(n2十n)](Sn十1)=0， ⊙习题3(2021·北京卷)数列{am}是递 解得Sn=n2十n或Sm=一1. 增的整数数列，且a1≥3，a1十a2十…十aw= 因为数列{an}都是正项， 100,则n的最大值为( ). 所以Sn=十n. A.9 B.10 C.11 D.12 当n≥2时，有an=SmS。