5.3.2 函数的极值与最大(小)值-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第五章>一元醉数的长教及共应用 5.3.2函数的极值与最大（小）值 高考要求学业标准·考情分祈 ·考点分布· 学科素养 ·学法导引 L,借助函数的图象，了解函数在某点处取 L.借助f(.x)=x3理解(x)=0 得极值的必要条件和充分条件，能利用 是f(x)在处取得极值的必要不充分 导数求某些函数的极大值，极小值。 条件。 直观想象 四 2.了解函数最值的概念，能用导数求某 2.结合图象理解极值与最值的区 数学运算 些函数在给定闭区间上的最大值、最 别与联系，并明确它们的关系。 逻辑推理 小值 3.进一步体会导数在研究函数性 3.强化数形结合的思维意识，提高运用 质（单调性及与单调性有关的极值、最 导数分析和解决实际问题的能力. 值)和图象中的工具性作用. 考点分类考点透析·典例刺析 考点1 求函数的极值 ·核心总结 比较拼析， 一般地，求函数y=f(x)的极值的步骤如下： 函数的极值与导数的关系 1.求出函数的定义域及导数f(x) L,函数的极位与函数的 2.解方程(x)=0,得方程的根（可能不止一个）. 导数之间的关系如图所示，由 3.用方程了(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干 图可知，曲线在极值点处切线 个开区间，可将x,f(x),f(x)在每个区间内的变化情况列在 的斜率为0，曲线在极大值点 同一个表格中 左侧切线的斜率为正，右侧为 4.由∫(x)在各个开区间内的符号，判断f(x)在f(x) 负；曲线在极小值，点左侧切线 0的各个根处的极值情况： 的斜率为负，右侧为正 如果左正右负，那么函数f(x)在这个根处取得极大值： 如果左负右正，那么函数f(x)在这个根处取得极小值： 如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点。 ⊙考题面求下列函数的极值 2.可导函数的极值点一 定是其导数为零的点：反之， 有2 1)f.x)=x2-3x2-9x+5.(2)fx)=2 导数为零的点不一定是该函 解湿(1)函数的定义域为R, 数的极值，点。因此，导数为零 f(x)=3.x2-6.x-9=3(x+1)(x-3). 的点（又称驻点，可疑点）仅是 令f(x)=0,即3(x十1)(x-3)=0,得x1=-1,x2=3. 该点为极值点的必要条件，其 充分条件是该点两侧的导效 当x变化时，f(x),f(x)的变化如下表： 125 考点同步解读〉高中敛学选棒性必锋第二册RA多 (-0∞，-1) -1 (-1,3) 异号.举例如下： 3 (3,十∞) 导数为0的点是极值点： f(z) 0 0 f(.x)=x2,f(0)=0,.x=0是 f(r) 极大值10 极小值一22 极小值点： 从表中可知，当x=一1时，f(x)有极大值f(一1)=10：当x 导数为0的点不是极值 点：f(x)=x2,f(0)=0,x=0 =3时，f(x)有极小值f(3)=-22. 不是极值点； (2)函数的定义域为R, f(x)=2r+)-(2x)2-2x+1D(-1D 不可导点是极值点：f(x) 第四章 (x2+1)2 (x2+1)2 =|x,x=0是不可导点，且 令f(x)=0,得x1=-1,x2=1. 是极小值点 第 不可导点不是极值点： 当x变化时，f(x),f(x)的变化如下表： fx)=x,x=0是不可导 (-∞，-1) -1 (-1.1) 1 (1,十∞) 点，且不是极值点。 f(r) 0 + 0 块 f(r) 极小值一3 极大值一1 从表中可知，当x=一1时，f(x)有极小值f(一1)=一3：当x =1时，f(x)有极大值f(1)=-1. ©菱武☐求函数y二号的极值， ⊙知识梳理， 正确理解极值的概念 1.极值是一个局部性概 念.由极值的定义知，极值只 是某个，点的函数值与它附近 点的函数值比较是最大或最 小，并不意味着它在函致的整 个定义域内是最大或最小，即 ⊙考题2(2019·江苏卷节选)设函数f(x)=(x一a)(x一b)· 反映的是函数在某一点附近 (x一c),a,b,c∈R,f(x)为f(x)的导函数. 的大小情况 2.函数的极值点一定出 (1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值. 现在区间的内部，区间的端点 (2)若a≠b,b=c,且f(x)和f(x)的零点均在集合{一3,1,3} 不能成为极值点 中，求f(x)的极小值. 3.函数的极值不一定是 解析(1)因为a=b=c, 唯一的，即一个函数在某个区 所以f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=(x-a)3. 间上或定义域内的极大值或 因为f(4)=8,所以(4一a)3=8,解得a=2. 极小值可以不止一个 (2)因为b=c,所以f(x)=(.x-a)(x-b)2=x3-(a十2b)x2 4,如果函数f(x)在[a,们 +b(2a+b)x-ab, 上有极值，那么它的极值点的