5.2导数的运算-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

考点同步解读〉高中数学选棒性必督第二册RA色 5.2 导数的运算 高考要求学业标准·考情分祈 ·考点分布 学科素养 ·学法导引。 1能够用导数的定义求几个常用函数的 1,熟练记忆基本初等函数的导数 导数，会利用它们解决简单的问题， 公式，在此基础上直接运用公式求解基 2.能利用导数的运算法则和基本初等函 本初等函数的导数。 第四章 数的导数公式，求简单函数的导数。 2.体会导数四则运算与数的四则 逻辑推理 3.能理解简单复合函数的复合过程，能 运算的异同，并能借助导数四则运算法 数学运算 第 指出复合过程中的自变量、因变量及 则求解函数的导数 中间变量分别是什么，能正确地运用 3.能够利用导数的运算法则推导 复合函数的求导法则求简单复合函数 出简单复合函数f(a:x十b)的导数，并能 块 的导数. 利用它求复合函数的导数 考点分类考点透析·典例制祈 考点1 几个常用函数的导数 ·核心总结 ⊙知识链接， 函数 导数 1,这几个常用函数的导 f(x)=c(为常数) f(x)=c'=0 数都是由导数的定义推导出 f(r)=x f(x)=x'=1 来的.如第5个函数f(x)= /(x)=x f(x)=(x2)'=2a 上的导教推导如下 f(r)=x f(x)=(x2)'=3.x Ay=fx+△z)-fx) f(x)=1 f)=()r= △ △x 1 _1 f(r)=/T f(x)=()'=1 =rtAr r 元 △r =(rtAr) ⊙题国1)已知f)=亡，g()=,求使了(x)+1= x(x+△r)△z 1 g(x)的x的值. 2+rAr' (2)已知点P(一1,1)，点Q(2,4)是曲线y=x2上的两点，求 .y-limar 与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程. 解析(1)由导数公式得f(x)=2x 因为f(x)+1=g(x),所以2x+1= x 2.这几个函数的导数公 即2x2+x一1=0，解得x=-1或x-2 式可以写成： 100 第五章》一元数的长教及共应用儿 (2),y=(x2)'=2.x,设切点为M(x%), (x)'=(x)'=1·x-1= ∴y=x=2.o 1·x°=1， (x2)'-2·x2-1-2x, 又：直线PQ的斜率为加一2干司 4-1 =1,而切线平行于直线PQ, ()=xy k=2=1,即=分，切点为M2】 =(-1)·x1-1 ∴所求的切线方程为y一}x一，即4红一4y-1=0, =-x- 22 ⊙变式1已知f(x)=√x,则f(4)= (-( 四 ⊙变式2求函数y=上在点(1,1)处的切线方程. x-= 2 因而它们可以统一写成 (.x)'=ar1(a∈Q°）. 考点2 基本初等函数的导数公式 心核心总结 意难点突破… 函数 导数 求导公式的分类与总结 f(x)=(c为常数) f(x)=0 1.求导公式可分为四类 第一类为暴函数，y f(x)=(a∈R,且a≠0) f(x)=a.x-1 (.x)=ax(注意幂指数a f(r)=sin r f(r)=cosx 可推广到全体非零实效). f(r)=cos r f (r)=-sin r 第二类为三角函数，可记 为正弦函数的导数为余弦函 f(x)=a(a>0,且a≠1) f(r)=a'Ina 数，余弦函数的导数为正弦函 f(r)=e f(z)=e 数的相反数 f(r)-xlna 1 第三类为指数函数，y= f(x)=logx(a>0,且a≠1) (a)'=a'In a. f(x)=1 第四类为对数函数，y f(r)=In r (log.r)'=1 a也可写为 ⊙考题2(2022·贵阳检测)有下列结论： (logx)'log.e. ①(cosx)）'=sinx; 2.求导公式的转点 ②(sn5}/=cos子： (1)常数函数的导数为0， (2)幂函数求导降次 ③若y-则y1-一易 (3)指数函数的导数仍然 为指数型函效. 101 考点同步解读》】高中放学选棒性必修第二册RA么 (4)正弦函数和余弦函数 2xT 的导数是与它们互余的三角 其中正确结论的个数为(). 函数（即分别为余孩西数和正 弦西数)，且余弦函效的导数 A.0 B.1 C.2 D.3 都带负号 解析因为(cosx)'=一sinx,所以①错误； 3.对数西数、指数函数的 导数公式的巩固 因为-号，而（}/=0，所以②错误： 对于公式nx=上和 国为}}/=(xy=-2x3,所以y引=一号，所以③正确： 2 (e)'=e很好记忆，但对于公 第四童 因为-)/=（一x+y=-,所以④正确 式(g/-品。ge 2.x√ 和(a)'=alna的记忆较难， 第 答案C 特别是loge,lna这两个常数 很容易混淆 ⊙变式2)求下列函数的导数. 4.关注函数的自变量，正 块 确选择导数公式 (1)y=x1