5.2.2导数的四则运算法则 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.2.2导数的四则运算法则 复习回顾 基本初等函数的导数公式: 1.c'=0(c为常数) 2.(xa)'= axa-1 3.(sinx)'= cosx ; 4.(cosx)'=-sinx ; 5.(a)'=alna,特别地,(e*)'=e 6.Iog。x)'=xlna,特别地,nx)'= 在上节例2中,当P。=5时,P(t)=5×1.05 这时,求P关于t的导数可以看成求函数f()=5与g()=1.05t 乘积的导数。 一般地,如何求两个函数的和、差、积、商的导数呢? 探究设fx)=x2,gx)=x,计算fx)+g(x)川'与x)g()',它们与fx)和g'x)有什 么关系?再取几组函数试试,上述关系仍然成立吗?由此你能想到什么? 设y=f(x)+g(x)=x2+x,则 △y_x+Ay+x+A)-(x+=△x+2x+1. △x △x …y'=[f(x)+g(x)'=lim =1im(△x+2x+1)=2x+1. Ar-→0△ △r0 而f'(x)=(x2)'=2x,g'(x)=x'=1. ∴.[f(x)+g(x)'=f'(x)+g'(x).同理有[f(x)-g(x)'=f'(x)-g'(x) 一般地,对于两个函数x)和g(c)的和(或差)的导数,我们有如下法则: [f(x)±g(x'=f'(x)±g'(x). 例3求下列函数的导数: (1)y=x3-x+3;(2)y=2"+c0sx. 解:(①)y'=(x3-x+3)' =(x3)'-x'+3 =3x2-1. (2)y'=(2"+c0sx) =(2*)'+(c0sx) =2*In 2-sin x. 思考设f)=x2,g(x)=x,计算x)gc川'与fxg'(,它们是否相等? )与g()商的导数是否等于它们导数的商呢? 通过计算可知, [f(x)g(x)]=(x3)y=3x2 f'(x)g'(x)=2x1=2x 于a+gter≠fag倒 g'(x)(x)'1 事实上,对于两个函数x)和g(x)的积(或商)的导数,我们有如下法测: If(x)g(x)I=f(x)g(x)+f(x)g'(x); f(x) f(x)g(x)-f(x)g'(x) (g(x)≠0) g(x) [g(x) 由函数的乘积的导数法测可以得出: [cf(x)I=cf(x)+cf'(x)=cf'(x). 也就是说,常数与函数的积的导数,等于常数与函数的导数的积,即 [cf(x)I'=cf'(x). 函数的加、减、乘、除的导数运算法则: 1.[f(x)±g(x)=_f'(x)±g'(x) 2.[f(x)g(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) 特别地,[cf(x)=_cf'(x) f(x)g(x)-f(x)g(x) [g(x)2 例4求下列函数的导数: (1)y=x3e*;(2)y= 2sinx x 解:(1)y'=(x3e)'=(x3)'e+x3(e)y=3x2e+x3e'. y(siny sinxy (x2)2 2x2 cosx-4xsinx x4 2xcosx-4sinx x3 练习 课本P78 2,求下列函数的导数: (1)y=2x3-3x2-4;(2)y=3cosx+2;(3)y=elnx; (④)y=(x2+2x;(⑤y=nx Inx (6)y=tanx. X e 解:(1)y'=6x2-6x;(2)y'=-3sinx+2*lnx;(3)y'=e*lnx+e; ④y=2x++是-+3N 法2y=+2,y-x+3x 3 注意:如果有的函数直接求导比较麻烦,可以考虑将函数式先化简,然 后进行求导