专题02 平面向量的数量积运算-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点题型精准复习（人教A版2019必修第二册）

于科问原创，让学习更容易！ Rzxx coM学科网精品频道全力推荐 专题02平面向量的数量积运算 知识重现 1．平面向量数量积的概念 （1）数量积的概念 已知两个非零向量a，b，我们把数量a|b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即 a-b=|a|bcsθ。其中θ是a与b的夹角 【注】零向量与任一向量的数量积为0 投影向量：①定义：如图，设a，b是两个非零向量，AB=a，CD=b，作如下的变换：过AB的起点A和 终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A，B_得到AB_，则称上述变换为向量a向向量b投影， AB_，叫做向量a在向量b上的投影向量 eλ′点b ②计算：设与b方向相同的单位向量为e，u与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是 acosθ·e 2．平面向量数量积的运算律 已知向量a，b，c和实数入，则 3.平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质 设非零向量a，b，θ是a与b的夹角， 实原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 金学利网 李科网原创，让令司更多易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 ①)数量积：a-6=cos0,2)模：1a后，a ab (3)夹角：c0s0= (0垂直与平行：a16台a-6=0:ai台a-6=±l 【注】当a与b同向时， a-b=a6l:当a与b反向时，a-b=a (5)性质：a.b≤a (当且仅当a/b时等号成立) 考点预览 考点一 向量数量积概念辨析 考点二 向量数量积的运算 1.向量数量积的简单计算 2.平面几何图形中的向量的数量积 考点三 共线向量定理的应用 1.向量的模 2.向量的夹角问题 3.向量的垂直问题 4.向量的投影问题 题型展示 考点一向量数量积概念辨析 例1.(2023全国高一专题练习)下列说法中正确的是（) A.向量a,b满足a·b≤a.b B.若向量a,b,c满足a,c=b·c(≠0)，则a=b 2 空原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利四 李科网原创，让李司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 C.若向量a∥b,b∥c,则a∥c D.对任意两向量a,b,则ā-b与b-a是相反向量 【答案】D 【分析】根据向量数量积的定义，运算公式，以及平行向量的定义，即可判断选项 【详解】A因为当两向量的夹角为90,180]时，a-b<0,而a≥0，所以1ā6sā6不正确，故A错误； B若ac=i,c(≠0)，则(a-bc=0,所以a=b或(a-)1c,放B错误： Ca∥b,b∥c,若c=0,则a与c不一定平行，故C错误： D.根据相反向量的定义可知a-b的相反向量是-ā-b=b-ā，故D正确 故选：D 练习1.(2022秋重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)（多选）如果ā，五都是非零向量，则下列判断 正确的是() A.若a2=b2,则a-b或a=-b B.若|a-b=ab1,则a∥b C.若a+b曰a-b1,则a⊥b D.若a,6同向，则a=i 【答案】BCD 【分析】根据向量的相关概念，结合数量积、模长的运算逐个分析判断 【详解】若云=，则-，但方向无法确定，A错误： ,1a.b=a‖b1cos0=ab|,则cos0=1 ∴.ab的夹角0=0，即a,b同向，则a∥b,B正确： 若1a+b曰a-b1,则1a+6P=a-b日 即a2+2a-b+b2=a2-2a.b+b2,则ab=0,即ā⊥6，C正确： d=-d,d=a,则d=d: 又：a>0,6>0,且ab同向，则ba,ab同向 3 空原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利网 李科网原创，让李司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 ∴外a=6,D正确： 故选：BCD 练习2.(2023高一课时练习)给出以下结论：①0.0=0：②0a=0:③a-=a,④a6=0→a=0或 6=0:⑤a1i→(a-列c=0.其中正确的序号是： 【答案】⑤ 【分析】根据向量数量积的定义和性质，以及数乘向量的定义，即可判选项 【详解】①0.0=0，故①错误：②0a=0,故②错误： ③a:=acos0,故③错误：④a-6=0→a=0或6=0或a16,故④错误： ⑤a1b→ā.6=0→abc=0,c=0,故⑤正确 故答案为：⑤ 考点二向量数量积的运算 1.向量数量积的简单计算 例2.(2023广东高三统考学业考试)已知向量a和的夹角为90，a=2,园=V5,则a6= 【答案】0 【分析】利用平面向量数量积的定义可求得āb的值 【详解】由平面向量数量积的定义可得a.i=cos90=0 故答案为：0 练习1.(2023秋广东肇庆高二统考期末)已知向量e,已，，e均为单位向量，且它们两两的夹角均为 60°，其中a=g+2g-e,i=g