第2章 3.2 抛物线的简单几何性质-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版）

第二章〉园维陶线儿 3.2抛物线的简单几何性质 高考要求学业标准·考情分祈 ·考点分布 学科素养 ·学法导引· 1,理解并掌握抛物线的范围、对称 1.通过类比椭圆和双曲线几何性质的方 性顶点、离心率等几何性质，并会 法学习抛物线的几何性质。 利用这些性质来解决相关问题， 2.进一步掌握抛物线的定义，利用定义解 数学抽象 决与抛物线的焦点弦有关的问题。 2.了解抛物线焦点弦的一些简单 直观想象 3.抛物线性质的应用是重点，其中对焦半 性质，并会依据相关定义及数形 径、焦点弦的应用是考查的热点和难点。 结合的方法来解决有关抛物线 4.常与直线方程、一元二次方程、三角恒 的问题。 等变换、平面向量等结合命题 考点分类考点透析·典例制祈 第 考点1 抛物线的几何性质及其应用 ·核心总结。 方难点夹破 第五章 1.y=士2p.x(p>0)的几何性质 1.从几何性质上看抛物 标准方程 y2=2p.x(p>0) y2=-2p.x(p>0) 线与双曲线的区别和联系. 第 (1)抛物线的几何性质和 y 双曲线的几何性质差别较大， ( 第 抛物线的离心率为1，只有一 图形 个焦点、一个顶点、一条对称 轴、一条准线，且抛物线没有 对称中心 (2)尽管抛物线与双曲线 范围 x≥0 rS0 的一支都是有开口的不封闭 的光滑曲钱，但它们的图象性 准线方程 2 质是完全不同的，从开口的变 化规律来看，双曲线的开口越 焦点 号o) r-) 来越阔，而抛物线的开口越来 对称轴 x轴 越扁平， 顶点 (0,0) 2.抛物线x2=2py(p>0) 有几条对称轴？它是否是中 离心率 e=1 心对称图形？ 焦半径 MFI-+ MF--+ 有一条对称轴，即y轴： 不是中心对称图形 105 考点同步解读〉高中敛学选棒性必锋第一册SD多 2.x2=士2py(p>0)的几何性质 ②方法梳理*+ 1.抛物线的几何性质在 标准方程 x2=2py(p>00 x2=-2py(p>0) 解与抛物线有关的问题时具 有广泛的应用，但是在解题的 过程中又容易忽视这些隐含 图形 条件 2.与抛物线有关的最值 问题 第 范围 0 y0 (1)具备定义背景的最值 准线方程 y=一 问题，可用定义将其转化为几 2 何问题来处理， 第二童 焦点 F(o.2) Fo,-) (2)一般方法是由条件建 立目标函数，然后用函数求最 质 对称轴 y轴 第 值的方法进行求解，亦可用均 顶点 (0,0) 值不等式求解。 离心率 e=1 (3)常见题型及处理方法： 第四章 焦半径 MF1=为+ MF=-+ ①题型 2 a,求抛物线上一点到定 第五章 ⊙考题1(2022·武汉二中月考)已知A,B是抛物线y2= 直线的最小距离： b.求抛物线上一点到定 2px(p>0)上的两点，O为原点，若1OA|=|OB引，△AOB的垂心 点的最值问题. 鑫 恰为抛物线的焦点F,则直线AB的方程是(). ②方法 A.x=p B.x=3p 第 C.x-p D.x-ip 设P(xo,y)是y=2pz 解析由抛物线的对称性可知，A,B两点关于x轴对称。 p>0)上一点，别。= 6·即 设点A的坐标为(x1,y),则点B的坐标为(x1,一y1). 模 P务小由两点间的距离 抛物线y=2pr(p>0)的焦点坐标为F号0， 公式或，点到直线的距离公式 由F是△AOB的垂心可知AF⊥OB, 表示出所求距离，再用函数求 最值的方法求解。 因此kw·km=-1,即y。·当=-1 ① (4)此类问题应注意抛物 112 线几何性质的应用，尤其是范 由点A在抛物线上得y=2x1 ② 围的应用.若y=2px(p>0), 将②代入①得-故直线AB的方程为x=D, 5p 则x≥0，y≥0. 3.由已知的抛物线方程 答案D 讨论其几何性质时，首先要将 方程化为标准方程，确定抛物 @变式11(2022·洛阳高二期末测试)若抛物线y=2p.x 线焦点所在的坐标轴和开口 (p>0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，则抛物 方向，然后再求解几何性质中 线的标准方程为 的其他相关量. 106 第二章>园筇线小 ⊙考题2(2022·荆州中学单元测试)抛物线y2=2px的焦 点为F,M为抛物线上一点，若△OFM的外接圆与抛物线的准线 相切(O为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p=( A.2 B.4 C.6 D.8 解析"，'△OFM的外接圆与拋物线的准线相切， ∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径 外接圆的面积为9π，∴.外接圆的半径为3. 又：圆心在OF的垂直平分线上，OF=, 号+=3，p=4 答累B 考点2 由抛物线的几何性质求其标准方程 ·核心总结 ②归纳总结 第 抛物线标准方程的设法 抛物线与椭圆、双曲线的 四 1.顶点在原点，对称轴为x轴时