第2章 3.1 抛物线及其标准方程-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版）

∥第二章〉图值曲线/ $3抛物线 3.1抛物线及其标准方程 高考要求）学业标准·考情分析） 考点1，抛物线的定义及其简单应用 0难点突破…— 1.平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距对抛物线定义的两点认识 离相等的点的轨迹叫作抛物线。点F叫作抛物线的焦点，直线1.抛物线定义的实质可 l叫作抛物线的准线．归纳为”一动三定”一个动 2.双曲线与抛物线上的点的性质存在着差异，虽然抛物线点。设为M1一个定点F，即抛 的形状与双曲线的形状看起来有点“像”，但绝不能把抛物线看物线的焦点；一条定直线l。即 成是双曲线的一支。当抛物线上的点趋向于无穷远时，过曲线抛物线的准线；一个定值，即 上的点的切线接近于和对称轴平行，而当双曲线上的点趋向于点M与点F的距离和点M块 无穷远时，过曲线上的点的切线接近于和渐近线平行；抛物线到直线l的距离之比等于1. 没有渐近线，而双曲线有渐近线；从方程上看，抛物线方程与双2在抛物线的定义中，定 曲线方程也有很大的差别。_________点F不能在直线l上，否则， 动点M的轨迹就不是抛物 考题1（2020·北京卷)设抛物线的顶点为O，焦点为F，是过点F垂直于直线l 准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过点P作PQ⊥l于点Q。的一条直线。如到点F(1，0)与 则线段FQ的垂直平分线() A.经过点O B.经过点P 到直线l：x+y-1=0的距离 相等的点的轨迹方程为x- C.平行于直线OP D.垂直于直线OP y-1=0.轨迹为过点下且与 解析连接PF，由题意及抛物线的定义可知|PQ|=|FРP|，则直线l垂直的一条直线。 △QPF为等腰三角形。故线段FQ的垂直平分线经过点P。故选B[提醒]在解决与抛物线 B定义有关的问题时，一定不能 97′ 考点同步解读〉高中效学选棒性必锋第一册SD多 ⊙考题2(2022·襄阳四中周练)若动点M(x,y)到点F(4,0) 忽略“点F不在直线！上”这 的距离比它到直线x十5=0的距离小1，则点M的轨迹方程是 一条件， A.x十4=0 B.x-4=0 C.y2=8x D.y2=16.x 解依题意可知，点M到点F的距离等于点M到直线x 一4的距离，因此其轨迹是抛物线，且力=8，顶点在原点，焦，点在 ②方法梳理 第 1.应用定义通常可方便 x轴正半轴上，所以其方程为y2=16.x, 地解决两类问题： 答案D (1)求抛物线的标准方程， 第二意 ⊙考题3(2022·深圳福田中学月考)已知抛物线C:y2=x (2)求抛物线上一点满足 到焦点距离为定值时的坐标， 第三章 的焦点为F,A()是C上一点，AF=,则等于( 常用方法是利用抛物线的定 A.1 B.2 C.4 D.8 义，将到焦，点的距离转化为到 第四章 准线的距离来求解，充分利用 解团由抛物线的定义，可得AF=十子 直角梯形的性质解题， 2.抛物线的定义既可以用 第五章 :AF=,+,w=L 来确定动，点的轨迹，又可以解 答案A 决与之相关的其他问题，应用 第六章 时要注意数形结合，合理转化 ⊙考题4(2022·昆明调考)已知抛物线x2=4y的焦点为 第 F(0,1),A为抛物线上一动点，以AF为直径的圆与定直线1相 切，则直线1的方程为 解析因为F(0,1)为抛物线的焦点，设A(x1,y), 则AF的中点坐标为M经”， 又因为圆的半径为AE=M十1 2 2 所以圆心M到x轴的距离恒等于半径AF, 2 所以直线1的方程为y=0. 答案y=0. ⊙变式1-1(2022·贵阳一中月考)一动圆的圆心在抛物线 x2=4y上，该圆过点(0,1)，且与定直线l相切，则直线1的方程 为 198 第二章〉园维陶线/ 考点2 求抛物线的标准方程及方程中的特征量 ·核心总结 念方法归纳… 1.方程的四种形式 确定抛物线的焦点位置 条抛物线，由于它在平面内的位置不同，方程也不同，所 和开口方向的方法 以抛物线的标准方程应有四种不同的形式：y2一2px(p>0), 一次项变量为x(或y), y2=-2px(p>0),x2=2py(p>0),x2=-2py(p>0).这四 则焦点在x轴（或y轴）上：若 种形式的图形、标准方程、焦点坐标、准线方程列表如下： 系数为正，则焦点在正半轴 上；若系数为负，则焦点在负 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 半轴上.焦点确定，开口方向 也随之确定， y=2px 四种位置的抛物线标准 (p>0) (o) =-号 方程的对比： (1)共同点 ①原点在抛物线上： y=-2px (p>0) (-0) ②焦点在坐标轴上： ③焦，点的非零坐标是一次 第 项系数的甲士号士奖 r=2py (p>0) (o, (2)不同点 第五章 ①焦点在T轴上时，方程 的右端为士2px,左端为y2: x=-2py 焦点在y轴上时，方程的右端