第2章 2.2 双曲线的简单几何性质-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版）

第二章〉园维陶线儿 2.2双曲线的简单几何性质 高考要求学业标准·考情分祈 ·考点分布· 学科素养。 学法导引· 1.能根据双曲线的标准方程指出 1.双曲线的几何性质与椭圆的几何性质在 双曲线的范围、顶点，对称轴及对 内容上是相似的，要对比椭圆的几何性质来研 称中心，理解实轴、虚轴的含义 究双曲线的儿几何性质，在学习的同时要注意数 2.能够熟练地掌握基本量a,b,c 形结合思想、方程思想及等价转化思想的运用. 数学抽象 之间的关系及其几何意义，理解 2.对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有 直观想象 并掌握双曲线离心率的定义 的性质，利用渐近线来画双曲线特别方便，且 3.掌握双曲线渐近线的定义及其 较为精确.椭圆是封闭的曲线，没有渐近线，而 几何意义，并会利用渐近线来解 双曲线有两条渐近线，作出双曲线的渐近线就 决相关的双曲线问题 完全掌握了双曲线的变化趋势 第 考点分类考点透析·兵例胡析 考点1 由双曲线的标准方程探究其几何性质 ·核心总结 有难点突破… 双曲线的几何性质一览表 1.如何认识双曲线的简 第 方程 =1(a>0.b>0) =1(a>0.b>0) 单几何性质？ (1)双曲钱的焦点决定了 第 双曲线的位置， 图形 (2)双曲线的范围决定了 双曲线的开放性和无限延展 性，由双曲线的方程号一 范围 |x≥a,y∈R |yl≥a,r∈R 对称性 对称轴：x轴，y轴 对称轴：x轴、y轴 1a>0,b>0),得 1+ 对称中心：原点 对称中心：原点 y 焦点坐标 F1(-c,0),F(c,0) F(0,-c),F2(0,c) l,r≥a, 顶点坐标 A(-a,0),A2(a.0) A(0,-a),A(0,a) ∴.x>a, 离心率 ==√1+()>1 即r≤一a或x≥a a e=c- a +(2)> (3)双曲线的离心率和渐 渐近线方程 6 近线刻画了双曲线的开口大 c2=a+ =a2+F 小，离心率越大，双曲线的开 a,b,c之间 c>a>0,c>b>0 c>a>0,c>b>0 的关系 口越大，反之亦然 a与b大小不定 a与b大小不定 (4)对称性：由双曲线的 89 考点同步解读〉高中数学选棒性必督第一册SD色 ⊙若团(2022·东北师大附中药二周测)求以椭圆后+ 方程号-若-1a>0,6>0) 片。1的两个焦点为顶点、两个顶点为焦点的双曲线方程，并求此 知，若P(x,y)是双曲线上任 意一点，则P(一x,y),P(r 双曲线的实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程 一y)均在双曲线上，故P与 解析椭圆的焦点F(一√7,0)，F2(7,0),即为双曲线的顶点 P:,P2分别关于y轴、x轴对 ,双曲线的顶点和焦点在同一直线上， 称，因此双曲线分别关于y轴、 x轴对称.只不过双曲线的顶 ∴.双曲线的焦点应为椭圆长轴端点A(一4,0)，A2(4,0), 点只有两个，而椭圆有四个， 第 即c=4,a=7,.b=√c2-a=3. 2.如何确定双曲线的 ∴双向线的方程为号-苦=1. 形状？ 第二意 (1)双曲线共有六个特殊 故该双曲线的实轴长为2a=2√7，虚轴长为2b=6,离心率为 点：两个焦点、两个顶点、两个 第 =￡=47，浙近线方程为y=土3y7 虚轴端点，注意双曲线的焦，点 7 x. 一定在双曲线的实轴上 ⊙变式①求双曲线4y2一9.x2=一4的半实轴长、半虚轴 (2)直线x=士4，y=士b 长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图， 或x=士b,y=士a围成的矩 形中，双曲线的渐近线即为两 条对角线.依据上述两点，可 第五章 画出双曲线的大致形状. ⊙考题2已知双曲线8m.x2一my2=8的一个焦点为(0,3)， 第六章 求此双曲线的顶点坐标、渐近线方程、离心率。 显由8m2-my=8得2-兰=1， ②归纳总结 18 第 由双曲线的方程求其 有关性质的步骤 又焦点03)在y轴上，“方程可变形为 811 1.将双曲线方程化为标准 济 m 80, 形普烤言小 2.根据标准方程确定a,b 10 ∴m=-1.故双面线的方程为管-=1， 的值（注意方程的分母分别为 a2,b,而不是a,b) -8-1=9. 3.求出C,再对照双曲线 2n2 的几何性质得到相应的答案. ∴.顶点坐标为(0，士2√2)，渐近线方程为y=士2√2x,离心 率为e=c=32 4 ⊙变式12(2022·西南师大附中高二周测)求双曲线 4x2十ty2=1的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方 程、离心率 90 第二章〉园维陶线/ 考点2 双曲线的渐近线与离心率问题 核心总结 难点突破艹 L.求双曲线的渐近线方程， 1.深入理解双曲线的渐 对于双周线后 =1(a>0,b>0),把方程右边的“1”换 近线方程 成0”，得渐近线方程为号-苦-=0，即