第2章 2.1 双曲线及其标准方程-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版）

第二章〉园维陶线儿 §2双曲线 2.1 双曲线及其标准方程 高考要求学业标准·考情分析 一考点分布· 学科素养一 一学法导引 1,掌握双曲线的定义，会用 1.应注意定义中的限制条件：“常数小于FF: 双曲线的定义解决实际 且不等于零”，双曲线的定义可用代数式表示为 问题 1IMF|-lMF2l|=2a,其中0<2a<F,Fz. 2.掌握用定义法和待定系数 数学抽象 2.焦点F,F的位置是双曲线的定位条件，它决 法求双曲线的标准方程. 直观想象 定双曲线标准方程的形式.参数a,b确定双曲线的形 3.理解双曲线标准方程的 状和大小，是双曲线的定形条件。 推导过程，并能运用标准 3.学习双曲线时要注意将其与椭圆的定义及其 方程解决相关问题。 标准方程进行对比，有比较才能更深刻地记忆， 考点分类考点透析·典例倒析 第 考点1 双曲线的定义及应用 一核心总结 春难点突破， 1.定义：我们把平面内与两个定点F,F2的距离的差的绝 对双曲线定义的理解 对值等于非零常数（小于|FF2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两 L.定义中的前提条件为 个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距 “平面内”，这一限制条件十分 2.双曲线定义的集合表示： 重要，不能忽略，否则就成了空 (MIMF-MF2=2a,0<2a<FF2). 间曲线，而不是平面曲线了， 块 3.双曲线上一点P与双曲线的两个焦点F1,F2构成的三 2.不可漏掉定义中“常数 角形称为焦点三角形，其中，PF,PF2|和FF,|为三角形 小于FF” 的三边，解决与这类三角形有关的问题时要充分利用双曲线的 (1)当“常数等于FF,1” 定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理。 时，轨迹是射线。 4,如果动点满足的条件是到两个定点的距离之差或差的 (2)当“常数大于FFz|” 绝对值为定值，可借助双曲线的定义求其轨迹方程， 时，轨迹不存在。 5.双曲线上的一点，如果已知其到一个焦点的距离，则可 3.双曲线的定义中要注 由定义求其到另一个焦点的距离。 意两点： (1)距离之差的绝对值 ⊙考题1(2022·武汉酥口区调考)一动圆与两圆：x2十y2 (2)02a<|F1F. 1和x2十y2一8.x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为( 这两点与椭圆的定义有本 A.抛物线 B.圆 质的不同，若PF一PF| C.双曲线的一支 D.椭圆 81 考点同步解读》高中放学选棒性必修第一册SD台 解析由题意得两定圆的圆心坐标为O(0,0),O2(4,0),设动圆 2a<|F1F|,点P的轨迹仅 圆心为C,动圆半径为r,则CO=r+1,CO2|=r+2..C)2|一 为双曲线在焦点F:这一侧的 CO=1<OO2|=4,故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支 一支，若|PF21一PFI= 答系C 2a<|FF,点P的轨迹仅 为双曲线在焦点F,这一侧的 @考题☑(202·银川一中月考)双曲线号一首-1上的点 一支，而双曲线是由两个分支 到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为(). 组成的，故定义中应为“差的 A.22或2 B.7 C.22 D.2 绝对值” 解匠，a2=25,∴a=5.设此点为P,双曲线的左、右焦点 分别为F,F2,由双曲线的定义可得|PF|一|PF:=10.由题 第二童 意得PF1=12,则|PF|-|PF2=土10，解得PF=22或2. 答案A ⊙考题3(2022·山东师大附中周练)设F1,F2为双曲线 三章 山规律总结… r 44 =1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠FPF2=90°， 1.涉及双曲线上一点与 第四章 求△FPF2的周长及△FPF2的面积 两焦点的情形时，要善于联想 双曲线的定义 第五盘 :点P在双南线号-苦1上， 2.在焦点三角形中，正弦 PF-PF=4,FF=4V2. 定理、余弦定理、双曲线的定 又，∠FPF2=90°，∴△FPF2为直角三角形， 义等是常用的知识点.另外， 第六章 .|PFI2+|PF212=FF22=32. 还经常结合PF|一|PF2| (PF-PF=4. =2a,建立与|PFPF|的 第 由方程组 联系.在运算过程中，要注意 |PF|2+|PF212=32. 整体思想和一些变形技巧的 1PFl=23+2,PF=23-2. 模 解得 应用. 1PF21=23-2,PF21=2√3+2. △FPF2的周长为lPFI+|PF2|+|FF2|=43+42, △FPF2的面积为 PRI1PF:=2×(23+2)× (25-2)=4. 考点2 对双曲线标准方程的理解与应用 :核心总结 查难点突成… 若以两焦点所在的直线为坐标轴，以它们的中点为坐标原 对双曲线标准方程的理解 点，建立平面直角坐标系 1.标准方程的代数特征： y 焦点在x轴上，双曲线的方程为