第一章　空间向量与立体几何 章末复习-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第一章)空阀向圣与立体儿州八 章末总复习 一、微专题妙总结 专题突破知识胎汇·方法总然 微专题1求直线与平面所成的角 又平面AACC⊥平面ABC,AEC平面 (1)向量法：如图所示， AACC,平面AACC∩平面ABC=AC, 设直线l为平面a的斜线，( 所以AE⊥平面ABC ∩a=A,a为直线l的方向向 A 如图，以点E为原点，分别以射线ED, 量，n为平面a的一个法向量，9为直线l与平 EC,EA1为x轴、y轴、x轴的正半轴，建立空 面a所成的角，则sing=|cos(a,n〉|= 间直角坐标系Exy. a.n a n 模 块 (2)用向量法求直线与平面的夹角的步骤 ①建立空间直角坐标系： ②求直线的方向向量AB: D ③求平面的法向量： ④计算：设线面角为a.则s如g=n·A店 不妨设AC=4,则A(0,0,2√3)，B3,1,0), nABI ⑤由0°≤0≤90°，求0. B(532.F32同.c0.20 ⊙例1(2019，浙江卷)如图，已知三棱 柱ABC-A,B,C1,平面AACC⊥平面ABC, 国此成-（停2同-（一1.0 ∠ABC=90°，∠BAC=30°，A1A=A,C=AC, 由E苹.BC=O得EF⊥BC E,F分别是AC,AB1的中点. (2)设直线EF与平面ABC所成的角为Q. (1)证明：EF⊥BC 由(1)可得BC=(-3,1,0),A1C=(0,2 (2)求直线EF与平面A,BC所成角的余 -23) 弦值 设平面ABC的法向量为n=(x,y,2). BC·n=0,〔-3x十y=0, 得 AC.n=0 y-√3g=0. 取n=(1,3,1), 解析(1)如图，连接AE,因为A1A= sin 0-lcos(EF)n EF5 AC,E是AC的中点，所以AE⊥AC 因此，直线EF与平面A,BC所成角的余 39 考点同步解读〉高中放学选棒性必修第一册RA乡 弦值为号 ⑤确定二面角的平面角的大小 ⊙例2(2019，全国卷Ⅱ)如图，长方体 ⊙变式1(2018，全国卷I)如图，四边形 ABCD-A1BCD,的底面ABCD是正方形，点 ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中 E在棱AA,上，BE⊥EC. 点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达 (1)证明：BE⊥平面EBC 点P的位置，且PF⊥BF (2)若AE=AE,求二面角B-ECC1的正 (1)证明：平面PEF⊥平面ABFD. 弦值。 (2)求直线DP与平面ABFD所成角的正 第 弦值。 D 委 第 A 解漏(1)由已知得B,C⊥平面ABBA, 块 BEC平面ABBA,故BC⊥BE 微专题2 又BELEC,BC∩EC=C1, 求二面角的大小 所以BE⊥平面EBC. (1)若AB,CD分别是二面角a-L3的两个 (2)由(1)知∠BEB1=90. 平面内与棱！垂直的异面直线，则二面角（或其 由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E, 补角)的大小就是向量AB与CD的夹角，如图1. 所以∠AEB=45°， 平面a与B相交于直线l,平面a的法向量 故AE=AB,AA1=2AB. 为n,平面B的法向量为n2,(n1,2）=0,则二 以点D为坐标原点，DA的方向为工轴正 面角a13为0或π一0.设二面角的大小为g: 方向，DA为单位长度，建立如图所示的空间 则1cosg=cos01=,如图2，图3 n n2 直角坐标系Dxy,则C(0,1,0),B(1.1,0), C(0,1,2),E(1,0,1),CB=(1,0,0).CE= (1,-1,1),CC=(0,0,2). 图1 图2 料3 (2)用法向量求二面角的大小的步骤 ①建立空间直角坐标系： ②分别求出二面角的两个半平面所在平 D 面的法向量： A ③求出两个法向量的夹角： 设平面EBC的法向量为n=(x,y,), ④判断所求二面角的平面角是锐角还是 CB·n=0,x=0, 则 即 钝角； C克.n=0,x-y十=0， 40 I/第-章〉空间向量与立体几创/ 所以可取n=(0，-1，-1)。AB=2，∠BAD=60^∘，E，M，N分别是BC， 设平面ECC_的法向量为m=(x_1，y_1x_1)，BB_1，A_4D的中点。 CC·m=0，j2x_1=0，（1)证明：MN∥平面C_1DE. |cE·m=0，'|x_1-y_1+x_1=0，（2)求二面角A-MA_1-N的正弦值。 所以可取m=(1，1.0)。 于是cos(nm)=””-1 所以二面角B-ECC_1的正弦值为。． 变式2（2019，全国卷Ⅰ如图，直四棱 A′—BE_ 柱ABCD-A_1B_1C_1D_1的底面是菱形，AA_1=4， 二，高频考点整合 高频考点）真题制析·能力提升）模 高频考点1．空间直线与直线所成的角方法二以点D为坐标原点，分别以