第三章 圆锥曲线的方程 章末复习-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第三章〉同维曲钱的方程) 章末总复习 一、微专题妙总结 专题突破识触汇·方法返站 上、下焦点，则 圆锥曲线的焦半径公式及其 微专题 ①当点P在双曲线的下支上时，PF= 应用 eo-a,lPF2|=-e%十a. 圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫作 ②当点P在双曲线的上支上时，PF= 圆锥曲线关于该点的焦半径.利用圆锥曲线的 e十a,|PF2=e%-a. 第二定义容易得到圆锥曲线的焦半径公式.在 3.抛物线的焦半径公式 解答涉及焦半径或焦点弦的圆锥曲线类问题 (1)若P(xo,%)为抛物线y2=2px(p>0) 时，用焦半径公式可简化运算过程，收到事半 功倍之效， 上任意一点，则PF=十号 块 1.椭圆的焦半径公式 (2)若P(xo,)为抛物线y2=-2px(p> 1若P)为椭圆后+芳=1a>6> 0)上任意一点，则PF=一十号 0)上任意一点，F,F2分别为椭圆的左、右焦 (3)若P(.x,h)为抛物线x2=2py(p>0) 点，则|PF=a十exo,PF2|=a-exo 上任意一点，则PF=%十号 (2若P)为腾圆后+ =1(a>b> (4)若P(x0,)为抛物线x2=-2y(p≥ 0)上任意一点，F2,F:分别为椭圆的上、下焦 0)上任意一点，则1PF=一十号 点，则|PF,|=a十e%,PF2|=a-eo. 2.双曲线的焦半径公式 [注意]对于圆锥曲线的焦半径公式，没有 1①)若P)为双曲线后一苦-1a> 必要刻意记忆，可根据解题需要，由圆锥曲线 的第二定义快速推导出来 0,b>0)上任意一点，F,F2分别为双曲线的 ⊙例1(2019，全国卷Ⅲ)设F,F2为椭 左、右焦点，则 圆C荒十茶-1的两个焦点，M为C上一点 ①当点P在双曲线的左支上时，|PF -exo-a,PF2=-exo+a. 且在第一象限.若△MFF:为等腰三角形，则 ②当点P在双曲线的右支上时，PF| 点M的坐标为 exo十a,|PF2|=eto-a. 解析不妨设F1,F2分别是椭圆C的左、 2若P)为双曲线号一苦=1a> 右焦点，由M点在第一象限，△MFF2为等腰 三角形，知FM=FF2|=8.设M(x,%), 0,b>0)上任意一点，F2,F1分别为双曲线的则由椭圆的焦半径公式得F1M=a十e,所 183 考点同步解读〉高中敏学选森性必修第一册RA多 以FM=6+号，于是6+号=8，所以 圆经过A,B,D三点，且在点A处与x轴相切 ⊙例3已知A,B为抛物线x2=4y上 =3.又三+=1，为>0，所以为=5，从 3620 不同的两点，且直线AB的倾斜角为锐角，F为 而M(3,√15). 抛物线的焦点，若FA=一-2F克，则直线AB的 斜率为 答案(3，√15). 点评此题解法较多，应用椭圆的焦半径公 医1AF到=n十号，BF列=为十号， 式来求解速度较快. 由题知y>y· 算 ⊙例2(2010，全国卷)已知斜率为1的 所以AF一|BF|=M一2， ① 童 直线1与双曲线C:导-苦=1a>0,6>0)相 AF=2 BFI, ② 每 由①②得|BF1=y-2·AF|=2(yM 交于B,D两点，且BD的中点为M(1,3). 2),AB=AF到+BF1=3(M-2), (1)求C的离心率. (2)设C的右顶，点为A,右焦点为F,DF· 由孩长公式AB到=1+定一为， |BF|=17,证明：过A,B,D三点的圆与x轴 =3 块 相切. 得1十 解析(1)如图，设A(1, y1),B(x,2),将直线l的方 因为直线AB的倾斜角为锐角，所以k= 4 B 程y=x十2代入C的方程，化 简得(-a2).x2-4a2x-4a2 团界 a22=0,则2-a2≠0，△=4a2(2-a2+4)>0. 点这一解法使用了两个公式：焦半径公 4a2 4a2十a2月 式、弦长公式，解法很有技巧，渗透了函数与方 x十x2= 6-a2x1.= b-a2·y十 程思想及圆锥曲线中常用的设而不求的方法， 十十4=4-a26 P一.由M的中点坐标为 ⊙变式1(2018，全国卷Ⅲ)已知斜率为 ,3)知十1，故1“=2，即=3a k的直线1与椭圆C:等+芳-1交于A,B两 2 点，线段AB的中点为M(1,m)(m>0). 故C的离心率e=S=a+E=2, 1证明：kK一之 (2)由(1)知A(a,0),F(2a,0),C的方程 (2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且 为3.x2-y2=3a2.设x1≤一a,x2≥a,由焦半径 Fp+FA+FB=0.证明：2Fp1=|FA|+ 公式知|BF|=a-2.x1,|DF|=2.x2一a,所以 FBI. DF·|BF=(a-2n)(2-a)=-4n2+ 2a(1十x2)-a2=17.化简得5a2十4a-9=0, 解得a=1或a= 号（合去）.A店·AD (x