3.3.2 抛物线的简单几何性质-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第三章>阀维曲钱的方程儿 3.3.2抛物线的简单几何性质 高考要求学业标准·考情分祈 ·考点分布 学科素养。 学法导引· 1,理解并掌握抛物线的范围、对称 1.通过类比椭圆和双曲线几何性质的方 性、顶点、离心率等几何性质，并 法学习抛物线的几何性质。 会利用这些性质来解决相关问 2.进一步掌握抛物线的定义，利用定义解 第 题.（★★★） 决与抛物线的焦点弦有关的问题， 直观想象、数学运算 2.了解抛物线焦点弦的一些简单 3.抛物线性质的应用是重点，其中对焦半 第 性质，并会依据相关定义及数形 径、焦点弦的应用是考查的热点和难点。 结合的方法来解决有关抛物线 4.常与直线方程、一元二次方程、三角恒 的问题.（★★） 等变换，平面向量等结合命题 考点分类考点透析·與例制析 块 考点1 抛物线的几何性质及其应用 5年6考 ·核心总结 难点突限 1.y=士2p.x(p>0)的几何性质 1.从几何性质上看抛物 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) 线与双曲线的区别和联系 (1)抛物线的几何性质和 双曲线的几何性质差别较大， M(xey (ry M 抛物线的离心率为1，只有一 图形 个焦点、一个顶点、一条对称 轴、一条准线，且抛物线没有 对称中心 (2)尽管抛物线与双曲线 范围 x>0 x≤0 的一支都是有开口的不封闭 的光滑曲线，但它们的图象性 准线 方程 x=一2 2 质是完全不同的，从开口的变 化规律来看，双曲线的开口越 焦点 r(台，o) F(-2.0) 来越阔，而抛物线的开口越来 性质 越扁平 对称轴 x轴 2.抛物线x2=2py(p> 顶点 (0,0) 0)有几条对称轴？它是否是 离心率 e-1 中心对称图形？ 焦半径 MF=+ MFl=-x十 有一条对称轴，即y轴： 2 不是中心对称图形 169 考点同步解读〉高中放学选漆性必修第一册RA多 2.x2=士2y(p>0)的几何性质 ②方法梳理*： 1.抛物线的几何性质在 标准方程 x2=2py(p>0) x'=-2py(p>0) 解与抛物线有关的问题时具 有广泛的应用，但是在解题的 过程中又容易忽视这些隐含 条件 图形 2.与抛物线有关的最值 x,》 问题 第 (1)具备定义背景的最值 问题，可用定义将其转化为几 范围 y>0 3y≤0 何问题来处理 准线 (2)一般方法是由条件建 方程 立目标函数，然后用函数求最 第 值的方法进行求解，亦可用均 焦点 F(o.2) ro,-) 值不等式求解。 性质 对称轴 y轴 (3)常见题型及处理方法 块 ①题型 顶点 (0,0) a,求抛物线上一点到定 离心率 e=1 直线的最小距离： 焦半径 MF-%+号 IMFI=-x+ b.求抛物线上一点到定 2 点的最值问题 ②方法 ⊙考题1(2022，湖北武汉二中周练)已知A,B是抛物线 设P(xo,yh)是y=2px y2=2px(p>0)上的两点，O为原点，若|OA|=|OB引，△AOB的 （>0》上一点别6=第即 垂心恰为抛物线的焦点F,则直线AB的方程是( P(说人由两点间的距离 A.x=p B.x=3p C.-p D.x-3p 公式或点到直线的距离公式 解由抛物线的对称性可知，A,B两，点关于x轴对称. 表示出所求距离，再用函效求 设点A的坐标为(1)，则点B的坐标为(x1,一y1). 最值的方法求解。 抛物线y=2p(p>0)的焦点坐标为F(?0小， (4)此类问题应注意抛物 线几何性质的应用，尤其是范 由F是△AOB的垂心可知AF⊥OB, 围的应用.若y2=2px(p>0), 因此k·kg=一1，即y。·二=一1. 则x≥0.y≥0. ① 3.由已知的抛物线方程 2 讨论其几何性质时，首先要将 由点A在抛物线上得y=2px ② 方程化为标准方程，确定抛物 将②代入①得-碧故直线AB的方程为x=号， 线焦点所在的坐标轴和开口 方向，然后再求解几何性质中 答案D 的其他相关量. 170 第三章〉间维油钱的方程 ⊙变式11(2021，河南洛阳高二期末测试)若抛物线y2 2px(p>0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，则抛 物线的标准方程为 ⊙考题2(2022，湖北荆州中学单元测试)抛物线y2=2px 的焦点为F,M为抛物线上一点，若△OFM的外接圆与抛物线的 准线相切(O为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p=(). A.2 B.4 C.6 D.8 解泥，'△OFM的外接圆与抛物线的准线相切， ∴.△OFM的外接圆的圜心到准线的距离等于圆的半径 ,外接圆的面积为9π，.外接圆的半径为3. 又：圆心在OF的垂直平分线上，OF=号， “号+骨-3，解得p=4 答案B ⊙变式12(2020，豫南九校联考)如图 块 所示，已知点Q(22,0)及抛物线)y=专