3.3.1抛物线及其标准方程-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版）

3.3抛物线 3.3.1抛物线及其标准方程 ·或点分布 中法亭引 1.能根据抛物线的标准方程然练地写出焦点坐 标及准线方程.（★★★） 重视定义在解题中的应用， 灵活地进行抛物线上的点到焦点 2.掌提抛物线方程的四种标准形式，会用待定 距离与到准线距离的相互转化： 系数法求抛物线的方程并作出其儿何图形. 数学抽象，逻辑推理 注意确定四种标准方程的条件， (★★★) 明确抛物线的焦准距、通径与抛 3.理解抛物线y=2px中P的儿何意义，并会 物线标准方程中系数的关系， 运用其几何意义解决相关问题，（★★★） 抛物线的定义及其简单应用 难点突破 1.平面内与一个定点F和一条定直线(（不经过，点F)距 对抛物线定义的两点认识 离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线 1.抛物线定义的实质可 ?叫作抛物线的准线 归纳为“一动三定”一个动 2.双曲线与抛物线上的点的性质存在着差异，虽然抛物线 点，设为M:一个定点F,即抛 的形状与双曲线的形状看起来有点像，但绝不能把抛物线看成 物线的焦点：一条定直线，即 是双线的一支.当抛物线上的点趋向于无穷远时，过曲线上 抛物线的准线；一个定值，即 的点的切线接近于和对称轴平行，而当双曲线上的点趋向于无 点M与点F的距离和点M 穷远时，过曲线上的，点的切线接近于和渐近线平行：抛物线没 到直线1的距离之比等于1. 有渐近线，而双曲线有渐近线：从方程上看，抛物线方程与双曲 2.在抛物线的定义中，定 线方程也有很大的差别， 点F不能在直线（上，否则， 考题1(2020，北京卷)设抛物线的顶点为O,焦点为F, 动，点M的轨造就不是抛物 准线为1，P是抛物线上异于O的一点，过点P作PQ⊥1于点Q, 线，而是过点F垂直于直线( 则线段FQ的垂直平分线( 的一条直线.如到点F(1,0) A.经过点O B.经过点P 与到直线1：x十y一1=0的距 C.平行于直线OP D.垂直于直线OP 离相等的，点的轨迹方程为 丽连接PF,由题意及抛物线的定义可知PQ|=|FP|, 一y一1一0，轨迹为过点F且 则△QPF为等腰三角形，故线段FQ的垂直平分线经过点P.故 与直线垂直的一条直线. 160 选B. [提醒]在解决与抛物线 B 定义有关的问遁时，一定不能 考题2(2021，湖北襄阳四中周练)若动点M(x,y)到点 忽略“点F不在直线1上"这 F(4,0)的距离比它到直线x十5=0的距离小1，则点M的轨迹方 一条件. 程是( A.x十4=0 B.x-4=0 C.y2=8.x D.3y2=16.x 依题意可知，点M到，点F的距离等于点M到直线x= 一4的距离， 因此其轨迹是抛物线，且p=8,顶点在原，点，焦，点在x轴正 半轴上， 所以其方程为3y2=16.x. 南D 方法梳理 1,应用定义通常可方使 变式1-1过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为 地解决如下两美问题 ( . (1)求抛物线的标准方程， A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线 (2)求抛物线上一点满足 考题3(2022，广东深圳福田中学月考)已知抛物线C: 到焦点距离为定值时的坐标。 y=x的焦点为F,A)是C上一点AF=,则等 常用方法是利用抛物线的定 义，将到焦点的距离转化为到 于(). 准线的距离来求解，克分利用 A.1 B.2 C.4 D.8 直角郝形的性质解题 围由抛物线的定义可得AF=十是 2.抛物线的定义既可以 用来确定动点的轨迹，又可以 AFI=5 %, 用来解决与之相关的其他问 题，应用时要注意效形结合， ∴.x0=1. 合理转化. 到A 变式12(2022，湖北广水一中周练)抛物线y=4.x2上的 一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( A号 B号 c名 D.0 考题4(2021，云南昆明调考)已知抛物线x2=4y的焦点 为F(0,1),A为抛物线上一动点，以AF为直径的圆与定直线 相切，则直线！的方程为 因为F(0,1)为抛物线的焦点，设A(x1,y1), 到AF的中点坐标为M经，】 161 又因为圆的半径为AF-十1 2 2· 所以圆心M到x轴的距离恒等于半径AF, 2 所以直线1的方程为y=0. ■y=0. 变式13(2022，贵州贵阳一中月考)一动圆的圆心在抛 物线x2=4y上，该圆过点(0,1)，且与定直线1相切，则直线1的 方程为 2 求抛物线的标准方程及方程中的特征量 方法归纳 L.方程的四种形式 确定抛物线的焦点位置和 第三 抛物线在平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的 开口方向的方法 标准方程应有四种不同的形式：y”=2p.x(p>0),y2=一2p 一次项变量为x(或y), (p>0),x=2py(p>0),x产=一2y(p>0).这四种形式的图 则焦点在x轴（或y轴）上，若 形、标准方程