3.2.2双曲线的简单几何性质-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版）

3.2.2双曲线的简单几何性质 ·与点分市· 学什素养· ·学去学引 1.能够熟练地学提基本量a,b,c之间的 对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线 关系及其儿何意义，理解并掌握双曲 特有的性质，利用渐近线来画双曲线特 线离心率的定义.（★★★） 别方便，且较为精确.椭圆是封闭的曲 数学抽象，直观想象 2,掌握双曲线渐近线的定义及其儿何意 线，设有渐近线，而双曲线有两条渐近 义，并会利用渐近线来解决相关的双 线，作出了双曲线的渐近线就完全学握 曲线问题.（★★★) 了双曲线的变化趋势. 点分用 由双曲线的标准方程探究其几何性质 。难点夹破 双曲线的几何性质 1.如何认识双曲线的简 27 单几何性质？ 方程 =1(u>0.b>0) =1(a0.b0】 (I)双曲线的焦点决定了 双曲线的位置， (2)双曲线的范围决定了 双曲线的开放性和无限延展 图形 性，由双曲线的方程式一义。 1(a>0,b>0),得5 =1十 范围 x≥a,3yER y≥d.xER 对称轴：轴y轴 对称轴：x轴y轴 1.r≥d,dae 对称性 对称中心：原点 对称中心：原点 4,即r≤一u或x≥a. 焦点坐标 F(-,0).F(e,0) Ff(0,-.F(0,c (3)双曲线的离心率和渐 A(-a,0),4(a,0) 近线刻画了双曲线的开口大 顶点坐标 A(0,-),A(0,4) 小，离心率越大，双曲线的开 离心率 口越大，反之亦然， ()对称性：由双曲线的 渐近线方围 )士 方我号-若-1a>060) c2=a2+ o=a+6 a,b,c之间的 知，若P(x,y)是双曲线上任 >u>0.c>0 >a>0.c>b>0 关系 意一点，则P(一xy),P(x 4与b大小不定 a与b大小不定 y)均在双曲线上，故P与 144 考题1（2022，东北师大附中单元测评)求以椭圆+P分别关于y轴，x轴对称，因此双曲线分别关于y轴、 1的两个焦点为顶点，两个顶点为焦点的双曲线方程，并求此双曲轴对称，只不过双曲线的顶 线的实轴长，虚轴长，离心率和渐近线方程。点只有两个，而椭圆有四个。 2.如何确定双曲线的形状? 丽研椭圆的焦点F_1(-\sqrt{7}，0)，F_2(\sqrt{7}，0)即为双曲线的顶点。 (1)双曲线共有六个特殊 ∵双曲线的顶点和焦点在同一直线上，点；两个焦点、两个顶点，两个 ∴双曲线的焦点应为椭圆长轴端点A_1(-4，0)，A_2(4，0)，虚轴端点，注意双曲线的焦点 即c=4，a=\sqrt{7}，∴b=\sqrt{c}-a^7=3.一定在双曲线的实轴上。 （2)在直线x=±a·y= ∴双曲线的方程为，一号=1．±b或x=±b.y=±a围成 故该双曲线的实轴长为2a=2\sqrt{7}，虚轴长为2b=6，离心率为形中，双曲线的渐近线即 为两条对角线。依据上述两点 e=c-7^2渐近线方程为y=±32x可画出双曲线的大致形状 变式1-1求双曲线4y^2-9x^2=-4的半实轴长，半虚轴方法都理 长，焦点坐标，离心率，渐近线方程，并画出该双曲线的草图．1.已知双曲线的方程讨 论其几何性质时，需先看所给 方程是否为标准方程，若不 是，需先把方程化为标准方 程，然后由标准方程确定焦点 所在的坐标轴，找准a和b。才 能正确地写出焦点坐标，顶点 坐标等，注意与椭圆相关的几 何性质进行比较， 2.要注意正确判断焦点 考题2/（2021，湖北武汉十七中周练)已知双曲线8mx^2一所在的坐标轴，焦点所在的坐 my^2=8的一个焦点为(0，3)，求此双曲线的顶点坐标，渐近线方标轴不同时，顶点坐标，渐远 线方程的形式也是不同的。焦 程，离心率。 点在x轴上时，渐近线方程为 质由8mx^2-my^2=8得二=1，y=±_a^x+焦点在y轴上时， m m 新近线方程为y=±5^x 又焦点(0，3)在y轴上，∴方程可变形为1 m―m 解题模板 _>0，由双曲线的方程求其 有关性质的步骤 ∴-m>0，。∴m=-1.故双曲线的方程为—x2=1，将双曲线方程化为标准 -8-1=9.积，=1(x-于=1) m 145| .顶点坐标为(0，士2√2)，渐近线方程为y=士22x,离心 2.根据标准方程骑定4，b 的值（注意方程的分母分别为 率为e=c=32 a4 a,b,而不是a.b)、 变式12(2020，西南师大附中单元检测)求双曲线4x2十 3.求出，再对照双曲线 y=1的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离 的儿何性质得到相应的答案.。 心率 规律总结 已知双曲线的标准方程 确定其性质时，一定要弄清方 程中的a,b所对应的值，再利 用2=a十b得到c,从而确 定，若接方程不是标准形式， 则需先化成标准形式，再确定 a,b,c的值. 2 双曲线的渐近线与离心率河题 ·难点突破