3.2.1 双曲线及其标准方程-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版）

3.2双曲线 3.2.1双曲线及其标准方程 一考点分布 一学法手引 1,掌握双曲线的定义，会用双曲线的定 上，焦点下，F的位置是双曲线的 义解决实际问题.（★★★） 定位条件，它决定双曲线标淮方程的形 式，参数☑，b确定双曲线的形状和大小， 2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线 数学抽象、数学运算 是双曲线的定形条件 的标准方程.（★★★） 2.学习双曲线时要注意将其与椭 3,理解双曲线标准方程的推导过程，并能 圆的定义及其标准方程进行对比，有比 运用标准方程解决相关问题.（★★★） 较才能更深刻地记忆. 双曲线的定义及应用 5行 ●难点突破 L,定义：我们把平面内与两个定点F,F的距离的差的绝 对双曲线定义的理解 对值等于非零常数（小于F)的点的轨迹叫作双曲线.这两 1.定义中的前提条件为 个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距 “平面内”，这一限制条件十分 2.双曲线定义的集合表示： 重要，不能忽略，否则就成了空 (MMF-MF=2a.0<2u<FF). 问曲线，而不是平面曲线了， 3.双曲线上一点P与双曲线的两个焦点F,F2构成的三 2.不可福掉定义中“常数 小于FF” 角形称为焦点三角形，其中PF,PF和FF为三角形 (I)当“常等于FF,1” 的三边，解决与这类三角形有关的问题时要充分利用双曲线的 时，轨遮是射线： 定义和三角形的边角关系，正弦定理、余弦定理 (2)当“常数大于FF:1” 4,如果动点满足的条件是到两个定点的距离之差的绝对 时，轨远不存在。 值为定值，可借助双曲线的定义求其轨迹方程， 3.在双曲线的定义中要 5.如果已知双曲线上的一点到一个焦点的距离，则可由定 注意两点 义求其到另一个焦点的距离 (1)距离之差的绝对值： (2)0<2a<FF. 考题1(2022，湖北武汉酥口区调考)一动圆与两圆：x2十 这两点与蜥圆的定义有本 y=1和x2+y一8x十12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为( 质的不同，若PF一PF= A.抛物线 B.圆 2a<FF·,点P的轨迹仅 C.双曲线的一支 D.椭圆 为双曲线在焦点F:这一侧的 136 由题意得两定圆的圆心坐标为O_1(0，0)，O_2(4，0)，设动一支，若|PF-|PF|= 圆圆心为C，动圆半径为r，则|COl|=r十1，|CO_2|=r+2，2a<|F_1F_：||点P的轨迹仅 ∴|CO，|-|CO)|=1<]O}O_2|=4.故动圆圆心的轨迹为双为双曲线在焦点F_1这一侧的 曲线的一支。 一支，而双曲线是由两个分支 组成的，故定义中应为“差的 Cⅱ绝对值”。 变式1-1（2022，湖北武汉中学单元检测)已知平面上的 定点F_1，F_2及动点M，命题甲：||MF_1|-|MF_2|=2a(a为常 数)，命题乙：点M的轨迹是以F_1，F_2为焦点的双曲线。则甲是乙 的()。 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 为2（202，宁夏银川一中周练)双曲线=1上 的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为() A.22或2B.7C.22D.2 用∵a^2=25，∴a=5.设此点为P，双曲线的左，右焦点 分别为F_1，F_2，由双曲线的定义可得||PF_1|-|PF2|=10，则及双曲线上一点与 两焦点的情形时，要善于联想 |PF_1|-|PF_z|=±10.由题意得|PF_1|=12，解得|PF_z|=22或2.或的定义 A2.在焦点三角形中，正弦 变式1-2（2021，湖北武汉黄陂一中周练)已知双曲线的定理，余弦定理，双曲线的定义 左，右焦点分别为F_1，F_2，过F_1的直线与双曲线的左支交于A，B等是常用的知识点。另外，还经 两点，线段AB的长为5.若2a=8.那么△ABF2的周长是(常结合门PF1|-|PF|=2a、 A.16B.18C.21D.26，建立与|PF_1|和|PF_x的联 系。在运算过程中，要注意整体 考题∃（2022，山东师大附中周练)设F_1，F_，为双曲线思想和一些变形技巧的应用 于=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF_2=90 求△F|PF2的周长及△F_1PF_2的面积。 ∵点P在双曲线”-个=1上， ∴||PF_1|-|PF_z||=4，F_3F_2|=4\sqrt{2}. 对∠F_1PF_x=90，∴△F|PF，为直角三角形， ∴|PF||+|PF2|^2=|F_1F_2|^2=32. |PF_1|-|PF_2|=4， 由方程组PF，|^z＋|PFz|^x=32， B7 1PF11=23+2,IPF=23-2, 解得 或 PF:=23-2IPF2=23+2. ∴△FPF2的周长为|PF+|PF|+|FF2|=43+42, △RPR的面积为号PEPE=号×(2