3.1.2 椭圆的简单几何性质-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版）

3.1.2椭圆的简单几何性质 ·与点分市· 学什素养· ·学去学引 1.掌提离心率的概念及其儿何意义，能 根据已知条件，利用坐标法可求出 够熟练地利用基本量求离心率和利用 曲线的方程，而根据曲线的方程可判断 离心率求基本量.（★★★） 曲线的类型、形状和位置.由椭圆的标 逻辑推理，直观想象 2,注意运用数形结合的思想，理解并掌 准方程研究椭圆的简单儿何性质，如变 握椭圆的儿何性质，能解决一些综合 量的范队、对称性以及离心率等，为利 问题.（★★★） 用方程研究曲线提供了典范。 帝点分类 根据椭圆的方程研究其性质 算0● 0难点突破 L椭圆的长轴、短轴 对椭圆离心率的认识 如图，线段AA叫作椭圆的长轴，它 1.椭面的焦距与长轴长 的长为2，u叫作椭圆的长半轴长.线段 的比e=C B,B,叫作椭圆的短轴.它的长为2b,b叫 2.椭圆的离心率的变化 作椭圆的短半轴长 反映了精圆的扁平程度. 2.a,b,c的几何意义 当r越接近于1时，c越 a是长半轴长，b是短半轴长，©是半焦距的长，这就是它 接近于a,从而b=Va一-越 们的儿何意义.它们三者之间的关系可通过图形来反映 小，因此精圆越扁： Rt△BOF的三边恰为a,b,c,易知ab>0,a>c>0,且a'= 当e越接近于0时，c越 +2 接近于0，从而b=√云一越 3.椭圆的离心率 大，因此椭圆越接近皿： 椭圆的焦距与长轴长的比，称为椭圆的离心率，记作 当=0时，=0，a=b.两 2c-c 焦点重合，图形就是回了， 2a a' 3.椭圆的扁平程度由离 4.椭圆的儿何性质 心牵的夫小确定，与精圆的焦 曲线 椭圆 点所在的坐标轴无关。 定义 平面内与两个定点F,F的距离的和等于常数（大于FF) 的点的轨迹 标准方程 =1(ah0) 云十万=1(a>6>0) 123 续表 规律总结 1.椭圆的几何性质要热 曲线 椭圆 记，其性质可由标准方程直接 得出 2.椭圆的通径：过精圆的 图形 焦点且垂直于长轴的联叫作 前调的道经，通径长等于织。 3.对椭圆几何性质的进 顶点坐标 (士a,0).(0,±b) (士b.0),(0.士a) 一步认识 r轴 长轴长2a x轴短轴长2 (1)椭图上到中心距离最 对称轴 y轴短轴长2站 y轴长轴长2a 远或最近的，点的问题 焦点坐标 (士c,0),=Va一网 (0,±e),=a-b 设P代》为指国号+号 离心率 0<(e 0后(= 1(ab0)上任意一点，1P) 对称中心 原点 原点 (a-) 范围 z≤a,y≤h x≤b,lyld ver +ab 考题1(2022，湖南衡阳一中单元测试)x2十my2=1是焦 点在y轴上的椭圆，且长轴长是短轴长的2倍，则m= 一u≤ra, .当x= 0时，PO有最小值b.这时 面精圆十my=1的标准方程为2+ =1 1 点P在短轴的端，点B或B m 处：当x=士a时，PO有最 ,焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍， 大值4，这时点P在长轴的端 点A1或A处. -4X1,24,∴m=} :.2Xm 加 (2)椭圆上一点与焦点的 距离的最值问题 设点P(红)是椭国后 变式1-1已知椭圆x2十(m十3)y2=m(m>0)的离心率 。一号，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长，焦点坐标、顶点坐标 十示=1(a>>0)上任意 点，为，点P与椭圆左焦点 F1(一C,0)的距离，那么r= (+e)+y=6+2cx+ +-6-(-)+ 2a+C+=导+2+ r>0. 124 考题2(2022，湖北武汉二中周练)已知点P(0,m),点Q =+u 为椭圆号+y=1上任一点，求PQ的最大值。 又一d≤0≤a, 丽通设椭圆上一点Q(x,y). .当=a时r最大：当 =一a时，r最小，即点(a, 则|PQ2=x2+(y-m)2=-3y-2my+m2+4=-3· 0),(一4,0)与焦点F1(一c,0》 6+3m'+专m+4,-1<1 的距离分别是椭圆上的点与焦 点F的最大距离和最小距离. 当一g<-1,即m>3时，PQ3=(m+12,即PQ= m+1. 当一得>1，即m<-3时，PQ1=1-m 4 当-1≤-g≤1，即-3<m≤3时，PQ=√3m+4. 方法梳理 变式12(2021，湖北黄石二中月考)如图，点A,B分别 1,在利用椭圆的性质前， 是椭圆后+号-1长轴的左，右端点，点F是糖周的右焦点，点P 应把插圆方程化为标准方程， 注意分清楚焦点的位置，这样 在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF 便于写出a,b的值，再极据 (1)求点P的坐标 2=a-求出c,进而求出 (2)设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离 椭圆的长轴和短轴的长、离心 等于MB引，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值， 率、焦点和顶点的坐标等， 2.解析几何中的最值问 题，