2.3 直线的交点坐标与距离公式-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版）

2.3直线的交点坐标与距离公式 ·者点分市 ·补量杀 ·学法导引 1,能用解方程组的方法求两条直线的交 1.求两条直线的交点，就是求这两 点.（★★★） 条直线的方程的公共解。 2.掌握两点间的距离公式.（★★★） 2,两条平行直线间的距离可以通 数学轴象、数学运算 过在其中一条直线上任取一点的方法 3.掌握点到直线的距离公式.（★★★） 转化为点到直线的距离求得：也可直接 4.会求两条平行线间的距离.（★★） 使用公式求得. 两条直线的交点 拓展提升 1.点与坐标的一一对应关系 直线系方程 已知两条直线：Ax+By+C=0,:Ax十By十C=0. 一般地，具有某种共同属 几何元素及关系 代数表示 性的一类直线的集合称为直 点P P(a.b) 线系，它的方程叫作直线系方 直线( l:Az十B+C=0 程，直线系方程中除含变量 ,y以外，还有根据具体条件 点P在直纹/上 Aa+Bb+C=0 取不同值的变量，称为参变 AxBy+C-0. r=4 直线（与山的交点是P方程组 的解是 量，简称参数.由于参数的為 A:x+Biy+C=0 y=b 性及取法的不同，故可得到不 同的直线系，根据克线系的属 2.两条直线的交点 性，常见的直线系有： 用代数方法求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直线 (1)共点直线系方程，经 的方程，然后联立求解即可 过直线：Ax十By+(C= A十By+C=0. 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组 0,:4x十B2y十C=0交点 Ax十By十C=0. 的直线系方程为： 若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐 ①A(Ax+By+C)+ 标：若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行. 入(Ax十By十C)=0(入，为 参变量，且，入不同时为0)： 考题1(1)判断下列各组直线的位置关系，若相交，求出 ②Ax+By+C+ 交点的坐标 A(A:x十By十C2)=0(入为待 ①l1:3.x-y+4=0,l2:.x+3y+2=0. 定的系教，但此方程不包括直 74 ②l1:3.x-5y+10=0,2:9.x-15y+30=0. 线的方程)， (2)三条直线a.x+2y+8=0,4x十3y=10和2x-y=10相 (2)平行直线系方程，与 交于一点，求a的值. 直线Ax+By+C=0平行的 直线系方程为Ax十By士入= 3.x-y+4=0, = 5, 0(以为参克量，且A≠(C). 丽骊(1)①解方程组 得 x+3y+2=0 (3)垂直直线系方程，与 y=- 5 直线Ax十By十C=0垂直的 又=3k:=-3所以点=一1 直线系方程为Bx一Ay十X= 0(入为参变量)， 所以这两条直线垂直，交点坐标是（一子一》 ②由9.x一15y十30=0能化为方程3.x-5y十10=0可知， 3.x-5y+10=0, 方程组 有无数组解，所以这两条直线重合 9.x-15y+30=0 4x+3y=10, x=4, (2)解方程组 得 2.x-y=10 y=-2. 所以两条直线的交，点坐标为(4，一2). 由题意知点(4，一2)在直线a,x十2y十8=0上， 将点(4，-2)的坐标代入，得a×4十2×（一2）+8=0， 解得a=一1. 考题2(1)经过两条直线1：x一2y十4=0和l2:x十y 2=0的交点P且与直线l3:3.x一4y十5=0垂直的直线l的方程 为 (2)若直线41：y=k.x十k十2与直线l2:y=一2x十4的交点在 。解题技巧 第一象限内，则实数k的取值范围是 1.考题2(1)中的方法一 x-2y+4=0, x=0. 圆(1)方法一由方程组 得 采用的是常规方法，先通过方 x+y-2=0 y=2, 程组求出两直线的交，点，再根 即点P的坐标为(0,2). 据垂直关系求出斜率由于交 因为6的斜率为子，且1：所以1的斜率为一号 点在y轴上，故采用斜截式求 解：方法三则采用了经过两直 故直线1的方程为y=一号十2，即4r十3y-6=0, 线Ax十By十C=0与Ax+ B:y十C=0的交，点的直线系 方法二因为l与l垂直，故可设I的方程为4x十3y十m=0. 方程：Ax十By十C+入(A,x十 x-2y+4=0, 又由 得P(0,2),代入直线【的方程得m=一6. By+C)=0(入∈R),直接设 x+y-2=0 出过两直线交，点的方程，再根 故直线1的方程为4x十3y一6=0. 据垂直条件求解待定系数， 75 方法三设经过1与l2交点的直线系方程为(x一2y十4)十 2.变式1-1(2)可选用直 λ(x+y-2)=0(λ∈R),即(1+λ)x+(A-2)y+(4-2λ)=0. 线系方程来解本题可设所求 由1与13：3x-4y+5=0垂直可得(1+A)×3+(A-2)×(-4)= 直线1的方程为2x一