1.4 空间向量的应用-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第一章)空间句量与立体儿何∥ 1.4空间向量的应用 高考要求学业标准·考情分析 ·考点分布 一学科素养 一。学法导引】 1.理解空间中点的位置向量，直线的方向向量、 1学习空间的角，重在理解 平面的法向量的概念.（★★） 直线与平面所成角的概念，会求 斜线和平面所成的角，理解二面 2.熟练掌握用向量来判断或证明空间中线面位 数学抽象、数学运算 角及二面角的平面角的概念 置关系的方法，（★★★） 2.学习空间中的各种距离， 3.能用向量法（基底法与坐标法）解决线线、线 要理解各种距离的概念，通过具 面、面面的夹角的计算问题。（★★★） 体的例子掌握各种距离的求法. 考点分类考点迹析·典例制祈 考点1 直线的方向向量与平面的法向量 5年6考+ 块 ·核心总结 ②方法归纳… 1.点的位置向量 平面的法向量的求法 如图1，在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意 已知平面内两条相交直 一点P的位置就可以用向量OP来表示，则称向量OP为点P 线的方向向量，可求出该平而 的位置向量. 的一个法向量。 2.直线的方向向量 确定平面的法向量通常 我们把直线I上的向量a以及与a共线的向量叫作直线l 有两种方法： 方法一：在几何体中已经 的方向向量， 给出有向线段，只需证明线面 空间中任意一条直线！的位置可以由【上一个定点A以 垂直 及一个定方向确定.如图2，点A是直线1上一点，向量a表示 方法二：在几何体中没有 直线1的方向（方向向量）.在直线1上取AB=a,那么对于直 现成的有向线段，这时一般要 线l上任意一点P,一定存在实数1，使得AP=tAB.这样，点 建立空间直角坐标系，然后用 A和向量a不仅可以确定直线！的位置，还可以具体表示出1 待定系数法求平面的法向量. 上的任意一点。 一般步骤如下： (1)设平面的法向量为 n=(x,y,x). (2)找出（求出）平面内的 O. 两个不共线的向量的坐标， 图 图2 图3 图4 a=(a,bc),b=(az.bc). 23 考点同步解读〉高中数学选漆性必修第一册RA多 3.平面的位置向量 (3)根据法向量的定义建立 n·a-0, 空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定. 关于x,y,:的方程组 n·b-0. 如图3，设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为a (4)解方程组，取其中的 和b,P为平面a上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在 一组解，即得孩平面的一个法 有序实数对(xy),使得OP=xa+yb.这样，点O与向量a,b就 向量.由于平面的法向量有无 确定了平面α的位置，同时还具体地表示出了α内的任意一点. 数个，因此可在方程组的解中 4.平面的法向量 取一个较简单的作为平面的 第 (1)平面法向量的定义 法向量 如图4，直线1⊥a,取直线1的方向向量a,则向量a叫作 [注意]在对法向量进行求 平面α的法向量.给定一点A和一个向量a,则过点A,以向量 n·a=0, 第二意 解的过程中，方程组 a为法向量的平面是完全确定的. n·b=0 (2)平面法向量的性质 有无数组解，利用赋位法，只 第三章 ①平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量， 需要给，y,之中的某一个变 量赋一特殊值（常赋的值有 ②一个平面的法向量有无限个，它们互相平行 一1,0,1)，即可确定一个法向 块 ⊙考题1如图，已知点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),求 量，赋值不同，所求的法向量 平面ABC的一个法向量. 不同，但(0,0,0)不能作为法 向量 B 解析由已知条件得 AB=Oi-OA=(0,b,0)-(a,0,0)=(-a,b,0), AC=Oc-OA=(0,0,c)-(a,0,0)=(-a,0,c). 设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,),则 n·AB=(x,y,)·(-a,b.0)=-a.x+by=0. n·AC=(xy,z)·(-a,0,c)=-a.x十cz=0. 于是得y=分=总x 不妨令x=bc,则y=ac,=ab. 因此，可取n=(bc,ac,ab)为平面ABC的一个法向量. ⊙变式1(2021，湖北随州一中单元测试)已知A(1,0, 0),B(0,1,0),C(0,0,1),求平面ABC的一个法向量 24 /第一章，空间向量与立体几何 考题2如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥F 平面ABC，PC=3，∠ACB=平，D.E分别为线 段AB，BC上的点，且CD=DE=\sqrt{2}，CE=A一p 2EB=2. （1)求证：DE⊥平面PCD。 （2)求平面PCD的一个法向量。 （3)求平面PAC的一个法向量。 解析（1)由PC⊥平面ABC，DEC平面ABC，故PC⊥DE。 由CE=2，CD=DE=\sqrt{2}得△CDE为等腰直角三角形，故 CD⊥DE。