1.2 空间向量基本定理、1.3 空间向量及其运算的坐标表示-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版）

1.2空间向量基本定理 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 高老要求 ·专在分布· ·学科素杀· ·学法导引· 1.空间向量基本定理.（★★★） 利用空间向量基本定理将向量用 坐标表示出来，将向量的线性运算，数 2.空间向量的坐标运算.（★★★★） 逻辑推理、数学运算 量积的运算转化为坐标的运算（代数方 3.利用坐标表示空间向量之间的关系. 法)，初步解决两直线平行、垂直及两直 (★★★★) 线的夹角问题。 点分类 空间向量基本定理 项必他 深度解读 L.空间向量基本定理 L.空间向量的基底 如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一空间向量p, (1)条件：三个向量a,b.c 存在唯一的有序实数组(x,y,),使得 不共面。 p=xa十yb十c (2)结论：{a.b,c}叫作空 我们把a,b,c叫作空间的一个基底，a.b,c都叫作基向量. 间的一个基底。 (3)基向量：基底中的向 2.推论：设O.A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P, 量a,bc都叫作基向量， 都存在唯一的有序实数组(x,y,),使得(OP-xOA+yOB [说明](1)基底选定后， 0C, 空间所有向量均可由基底唯 3.如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度 一表示。 都为1，那么这个基底叫作单位正交基底常用，，k表示， (2)构成基底的三个向量 4.把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫作把空 a,b,c中没有零向量，其中的 每个向量称为基向量， 间向量进行正交分解， 2.用基底表示空问向量 考题(2022，湖北武汉蔡甸一中月考)已知{e,e2,e}是 的步聚 空间的-个基底，且OA=e+2e2-e,OB=-3e,十e2+2e,OC (1)定基底：根据已知条 =e+e2一e,试判断OA,OB,OC能否作为空间的一个基底。 件确定三个不共面的向量，从 而构成空间的一个基底 圃假设OA,O店，O心共面，由向量共面的充要条件知，存在 (2)找目标：用确定的基 实数，y,使得Oi=xOB+yC成立，即e+2e,一e=x(-3e,十 底（或已知的基底）表示目标 e2+2e)+y(e+e-e)=(-3.x+y)e+(x+y)e+(2.x-y)e. 向量，需要根据三角形法则及 13 因为{e1,e2,e}是空间的一个基底，所以e1,ee,e不共面. 平行四边形法则，结合相等向 -3x+y=1, 量的代换、向量的运算进行变 则x十y=2,而此方程组无解， 形、化简，最后求出结果 2x-y=-1, (3)下结论：利用空间向 即不存在实数x,y,使得OA=xO丽+yOC成立， 量的一个基底(a,b,c可以表 示出空间所有向量，表示要初 所以OA,OB,OC不共面. 底，结果中只能含有a.b,e,不 故{OA,O店.OC能作为空间的一个基底. 能含有其他形式的向量. 变式11(2021，安徽六安中学周练)已知空间的一个基 底{a,b,c},p=3a+2b十c,m=a一b+c,n=a十b-c,试判断p, m,n是否共面. 方法归纳 判断基底的方法 判断给出的某一向量组 能否作为基底，关健是要判断 考题2如图，四棱锥P-OABC的底面为一矩形，PO⊥平 它们是否共面.如果从正面难 面OABC,设OA=a,O=b,OP=c,E,F分别是PC和PB的中 以入手，可用反证法成利用一 些常见的几何图形进行判断， 点，试用a,b,c表示以下向量：B求，BE,AE,E京 瞬圆如图，连接BO 方法归纳 用基底表示向量的策略 L,若基底确定，要充分利 用向量加减法的三角形法则 和平行四边形法则，以及向量 的数乘运算来表示向量。 则B㎡-2Bp-2(B0+0°=c-b-a)=-2a-2b叶2c 2.若没有给定基底，则应 首先选定基底，选择时，要尽量 B驼-BC+Ci=-a+号C币=-a+2(c0+O币)=-a 使所选的基向量能方便地表示 其他向量，再就是基向量的模 及其夹角尽量已知或易求， AE-AP+PE-AO+OP+2(PO+(X)--a+e+z(-c+ b)=-a+2b+2c. 14 E=2c第=20i=2a. 变式12在平行六面体ABCD-A1BCD,中，AB=a, AD=b,AA=c,P,M,N分别是CA,CD,CD的中点，点Q 在CA,上，CQ:QA=4:1,试用基底{a,b,c}表示以下向量： AP,AM.AN.AQ. 2 空间向量的坐标表示 解题模板 给定一个空间直角坐标系和向量α，在单位正交基底 空间向量坐标表示的 ,j,k)下，由空间向量基本定理知，存在唯一的有序实数组 方法与步骤 (ar,az,as),a=aii-azj-ak. ① 有序实数组(a1,a2,as)叫作a在空间直角坐标系Oz之中 人图形》 完分观察图形特栖 的坐标，即a=(a,ag,4入.