1.1 空间向量及其运算-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版）

I.I空间向量及其运算 一考点分布← 1.空间向量的概念及其运算（★★★） 要学会运用类比的方法把有关的概 2.空间向量的数量积及其运算性质。直观想象，数学运算定理，性质，公式由平面推广到空间。 （★★） 有点分类） 1，空间向量的概念及其加减运算 难点突破 1.空间向量的有关概念理解空间向量概念的 （1)定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫作空间向量。关键点和注意点 （2)长度：空间向量的大小叫作向量的长度或模。1，关键点；紧紧抓住向量 （3)表示方法：空间向量用字母a，b，c…表示。也可用有的两个要素，即大小和方向。 向线段AB表示。2.注意点：注意一些特殊 向量的特性。 (4)几类特殊向量：________（1)零向量不是没有方 向，而是它的方向是任意的， 且与任何向量都共线。 单位向量-__模为1的向量__α|=1或|AB|=1（2)单位向量的方向虽然 相反向量。同量a长度相等而方向相反的向a不一定相同，但它们的长度都 是1. （3)两个向量的模相等， 不一定是相等向量；反之，若 两个向量相等，则它们不仅模 相等向量方向相同且模相等的向量α=b或AB=CD相等方向也相同。 1| 续表 加法 1)交换律：a十b=b十a 运算律 (2)结合律：(a十b)十c=a十(b十c 考题1如图，在三棱柱ABC-A1BC中，点E,F分别是 AC,AC的中点. (1)写出与向量AE相反的向量. (2)写出与向量EF平行的向量 (3)写出与向量AA相等的向量 丽丽(1)由题意得AE=CE=AF=C,F,且向量AE与向量 EA,C它.FA,CF的方向相反，故与向量AE相反的向量有EA, 方法归纳 CE.FAI.C F. 空间向量加减法运算的 (2)由题意得AA1∥BB∥CC1∥EF,故与向量EF平行的向 两个技巧 量有AAi,A1A,BB,BB,CC.CC,F 1.巧用相反向量：向量减 (3)由题意得AA,=BB1=CC=EF,且向量AA与向量 法的三角形法则是解决空间 BBCC,E驴的方向相同，故与向量AA相等的向量有BB,CC, 向量加减法的关健，灵活运用 相反向量可使向量首尾相连。 E 2.巧用平移：利用三角形 变式11如图，已知ABCD-A1B1CD1为平行六面体，若 法则和平行四边形法则进行 以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求： 向量加减法运算时，一定要注 (1)与BB相等的向量. 意和向量、差向量的方向，必 (2)与BC相反的向量. 要时可采用空间向量的有由 (3)与BA平行的向量. 平移获得运算结果. 考题2(2022，湖北武昌实验中学高二检测)（多选题）如 图所示，在正方体ABCD-A,BCD中，下列各式的运算结果为 向量AC的有( A.(AB+BC)+CC B.(AA+A D)+DC C.(AB+BB)+B C D.(AA:+A B)+B C 对于A,(AB+BC)+CC-AC+CC-AC; 2 对于B,(AA+AD)+D,C=AD+D,C=AC: 对于C,(AB+BB)+BC=AB,+BC=AC: 对于D,(AA+AB)+BC=AB+BC=AC. 漏ABCD 变式12在空间四边形ABCD中，若E,F,G,H分别为 AB,BC,CD,DA边上的中点，则下列各式中成立的是(). A.EB+BF+Ei+Gi=0B.E第+F心+Ei+GE=0 C.EF+F心+Ei+Gi=0 D.EF+FB+CG+GH=0 2 空间向量的敬乘运算及共线、共面向量 解题技巧 L,空间向量的数乘运算 空间向量运算中的技巧 定义 与平面向量一样，实数入与空问向量a的乘积a仍然是 L运用空间向量的运算 个向量，称为向量的数乘 法则化简向量表达式时，要结 1>0 a与向量a的方向相同 儿何意义 10 a的长度是a的长 a与向量a的方向相反 合空问图形，把空间向量问题 度的入倍 A=0 a=0,其方向是任意的 转化为平面向量问题来解决， 分配律 入(a+b)=a+b 并化简到最简为止。 运算律 结合律 A(ua)=(Ana 2.在空间向量的加法运 2.共线向量与共面向量 算中，下列结论可帮助我们简 共线（平行）向量 共面向量 化运算： 如果表示若干空间向量的有向 (1)多边形法则：首尾顺 定义 线段所在的直线互相平行或重平行于同一个平面的向量回叫作 次相接的若干向量的和，辛于 合，那么这些向量叫作共线向量共面向量 或平行向量 由起始向量的起，点指向木尾 对任意两个空间向量a,b(b 如果两个向量a,b不共线，那 向量的终点的向量，即A十 向量p与向量a,b共面的充要 定理0)，a∥b的充要条件是存在实 AA+…+AA=AA. 条件是存在唯一的有序实数对 数入，使a=b x,y),使p=xa十yb (2)首尾顺次相接的若千 如果（为经过已知点A且