2023年九年级数学中考复习 几何综合——四边形(1)

几何综合——四边形(1) 九年级数学中考复习 1．如图①，在四边形中，，，，，，点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点运动．当点到达点时，点，停止运动，设点运动时间为秒． （1）求的长； （2）当运动停止时，求线段的长； （3）在运动的过程中，是否存在某一时刻，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． （4）如图②，若点为边上一点，且，当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 2．【基础巩固】 （1）如图1，在中，，，分别为，，上的点，，，交于点，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在（1）的条件下，连结，．若，，，求的值． 【拓展提高】 （3）如图3，在中，，与交于点，为上一点，交于点，交于点．若，平分，，求的长． 3．【问题情境】： （1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、，则与的数量关系是 　　． 【类比探究】； （2）如图2，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接、．判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； 【拓展提升】： （3）如图3，在（2）的条件下，点是从点运动点，直接写出点的运动路径长度； （4）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值． 4．现有一块矩形板材，，，点为边上一点，连接，过点在矩形板材上作，且． （1）如图1，若点恰好落在边上，则线段的长为 　　； （2）如图2，连接，求线段长度的最小值； （3）如图3，连接，工人师傅能否在这块矩形板材上裁出面积最小的四边形？若能，请求出四边形面积的最小值；若不能，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，的坐标分别为，．点是的中点，点在上由点向点运动（到达点后停止），速度为，设运动时间为． （1）　　，　　．（用含的代数式表示）； （2）当点运动在什么位置时，四边形是平行四边形？并求运动时间； （3）当是等腰三角形时，点的坐标为 　　． 6．如图1，在正方形中，点是边上的一点，，且交正方形外角的平分线于点． （1）求的度数； （2）求证：； （3）在边上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，请画出图形并给予证明；若不存在，请说明理由； （4）如图2，在边长为4的正方形中，将线段沿射线平移，得到线段，连接、则直接写出的最小值是 　　． 7．已知菱形的边长为，，、为对角线上的两个动点，分别从、同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为秒，． （1）直接写出的长 　　（用含的式子表示）； （2）若，分别为，的中点，，求证：四边形始终为平行四边形； （3）在（2）的条件下，当四边形为矩形时，求的值． 8．（阅读理解） 如图1，，的面积与的面积相等吗？为什么？ 解：相等，在和中，分别作，，垂足分别为，． ，． ，四边形是平行四边形，． 又，，． （1）如图2，在正方形的右侧作等腰，，，连接，求的面积． 解：过点作于点，连接， 请将余下的步骤补充完整． （2）如图3，在正方形的右侧作正方形，点，，在同一直线上，，连接，，，求的面积． 9．综合与实践 【问题情境】 （1）如图1，在平行四边形中，，，，的平分线，分别与直线交于点，，则的长为 　　； 【知识拓展】 （2）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变． ①当点与点重合时，求的长； ②当点与点重合时，求的长． 【综合运用】 （3）把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点，在，中间，且点，，，相邻两点间的距离相等时，如图2，图3所示，求的值． 答案版： 1． 【解答】解：（1）过点作于点， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ； （2）当时，． 当时，； （3）当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 当在线段上时，， 解得． 当点在线段的延长线上时， ， 解得． 的值为2或6； （4）当点在线段上，且， 则， ， ， 当点在线段上，且， 如图，过点作于点， 则，， ， ， ； 若点在线段的延长线上，且， 如图，过点作于点，则，， ， ， ． 综合以上可得的值为1或或4． 2． 【解答】（1）证明：， ，， ，， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ； （3）解：延长交于，连接，过点作于， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， 在中，， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 3． 【解答】解：（1）结论：． 理由：正方形， ，， 正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：； （2）结论：，． 理由：如图2中，延长、相交于点． 四边形、四边形都是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ． ，； （3）如图3中，作于，交的延长线于