11.1余弦定理-【题型·技巧培优系列】2022-2023年高一数学同步精讲精练（苏教版2019必修第二册）

令学科网 学科网原到，让李司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 11.1余弦定理 常考题型目录 题型1 余弦定理解三角形 ◆类型1已知两边一角解三角形 2 ◆类型2已知三边解三角形 3 题型2利用余弦定理判断三角形形状 4 题型3余弦定理的应用 5 ◆类型1取值问题 5 ◆类型2求角问题 6 ◆类型3求范围问题 题型4解答题 知识梳理 知识点一余弦定理及其推论 三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边 文字表述 与它们夹角的余弦的积的两倍 a2 =b2+c2-2bccos A, 公式表达 b2=a2+c2-2accos_B, c2=a2+b2-2abcos_C cos A=b2+c2-a22bc; 变形 cos B=a2+c2-b22ac; cos C=a2+b2-c22ab 【注意】余弦定理的特点 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立 (2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量， 知道其中的三个量，就可求得第四个量 知识点二余弦定理的证明： 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c 如图，因为AC=A+元，A心2=（庙+心 即Ac=(A2+d+2A·BC=()+(B+2A,BcC0s180-B)从而b-a2 +c2-2accosB 同理，根据AC=AC+CB.B元=BA+A元，可以得到c2=a2+b2-2 abcosC,a2=b2+c2-2 bccosA 空原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 1 令学科网 学科网原到，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 +2AB|BCI(cos180-B) 题型分类 题型1余弦定理解三角形 ◆类型1已知两边一角解三角形 AAAAAAAAAAAAAAA△ 【方法总结】已知两边及一角，解三角形 方法概腰：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其 余角；二是利用正弦定理（已知两边和一边的对角）求解： 【例题1-1】(2023江苏·高一专题练习)在△ABC中，角AB,C所对边分别为a,b,c,若 a=8,b=7,B=60°，则c= 【变式1-1】1.(2023江苏，高一专题练习)△ABC的三个内角AB,C所对边的长分别为a,b,c,已 知c=3,C=号，a=2b,则b的值为 【变式1-1】2.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a=5,c=2,cosA=23,则b=() A.2 B.3 C.2 D.3 【变式1-1】3.(2023·江苏高一专题练习)一个钝角三角形的三边为连续的正整数，则三边长为 【变式1-H1】4(2023江苏高-专题练习)△A8C中，∠A,∠B的对应边分别为，b,目A青， a=6,b=4,那么满足条件的三角形的个数有() A.一个；B.两个； C.0个；D.无数个 ◆类型2已知三边解三角形 【方法总结】已知三边解三角形 法一：已知三边求角的甚本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角： 值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一 法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化 为已知三边求解 【例题1-2】(2022春·福建泉州高一校考阶段练习)在△ABC中，若a=V7,b=3,c=2,则A=（) A.30°B.60°C.45°D.90° 【变式1-2】1.(2023.江苏高-专题练习)在△ABC中，a:b:c=3:2:4,则cosC的值为() 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学科网 学科网原，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 A.等 B.-C.-D. 【变式1-2】2.(2022春·江苏无锡·高一江苏省太湖高级中学校考阶段练习)在△ABC中， a=7,b=4y5,c=V13,则△ABC的最小角为() A.背B.晋C.晋D. 【变式1-2】3.(2022春·江苏徐州高一校考阶段练习)设a,b,c分别为△ABC三个内角AB,C的对 边，已知a=5,b=6,c=7,则AB.BC= 【变式1-2】4.(2023·江苏·高一专题练习)海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师.在 他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式 S=Npp-a(p-b)p-c,这里p=(a+b+c,a,b,c分别为△ABC的三个角A,B,C所对 的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美.已知△ABC中，p=12,c=9,cosA=号，则该三角形纳 切圆半径（) A.2B.5C.V0D.5 题型2利用余弦定理判断三角形形状 【方法总结】利用余弦定理判断三角形形状的方法 1