6.3.2二项式系数的性质课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

人教A版2019必修第三册 复习引入 1.二项式定理 (a+b)"=COa"+Chab+...+Cha"kk+...+Cmb"(nEN*) 2.二项展开式的通项 Ti=Cka"-kb 3.二项式系数： C(k=0,1,,m) C9,C0,C7,,C月 情境引入： 同学们根据二项式定理写出(a+b)(n=1,2,3,4,5,6) 的二项式系数.可以写成如下形式： (a+b)1 1 (a+b)2. (a+b).… 3 3 (a+b) 6 九章箕術 (a+b)5 510105 (a+b)9 …1615 201561 这个表在我国宋代数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出 现了，所不同的只是这里的表是用阿拉伯数字表示，在那本书里用汉字表 示的，这个表称为“杨辉三角”.在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕 斯卡发现的，杨辉三角的发现比欧洲早500年左右，由此可见我国古代在 数学方面的成就. 问题你能利用上述规律写出下一行的数值吗？ 提示 根据规律下一行的数值分别是：172135352 171. 探究用计算工具计算(a十b)y”的展开式的二项式系数，并填入下表中 (a十b)"的展开式的二项式系数 (a+b)1 (a+b)2 2 oo c 1 21 杨辉三角 (a+b)3 3 C C G3 1 (a+b) 4 C1 C2 4 C:6 C 4 (a+b)5 5 g 6ξ0 ap C3 1 (a+b) 6 1 C 6 C215C20Cg15C6C%1 (1)每行两端的数都是1： (2)与两端等距离的项的系数相等： =Ca-m (3)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，等等 C=C0+ 下面从函数角度分析二项式系数： 对于(a+b)”展开式的二项式系数 C,C4,C,…,Cg Ir=3 从函数角度看，C,可看成是以为自变量的函 20 数f(r),其定义域是 15 {0,1,2,…,n. 10h 对于确定的，我们还可以画出它的图象.例 如，当=6时，函数f(r)的图像是右图中的 7个孤立点. 12 456 35f(r) f(r) 120 f(r) 30 100 25 50 80 20 ● ● 40 1 60 30 10 20 40 ● ● 5 10 20 10 1 2 3 5 6 -10 1 2 3 10 1 2 34 7 -10 -20 n=7 n=8 n= 9 政 此我们可得二项式系数有以下性质： 1.对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 f(r) Ir=3 事实上，这一性质可直接轴公式C=C"得到. 20 图象的对称轴为r= n 15 10 012 3456 2.增减性与最大值 c；-nn-1)(n-2)…(n-k+2)(n-k+1)=c+”k+，品=“+ k(k-1)！ ∴当”1>1.即“t1时，C>C三即C随随的增大而增大 由对称性知，当k>m+时，C随k的增大而减小 所以在中间项取得最大值。 问题：当分别为偶数和奇数时，第几项的二项式系数最大？ f(r)t .二项展开式共有+1项， 20 .当n为偶数时， 15 正中间一项的二项式系数 最大： 10 当n为奇数时， 中间两项的二项式系数 相等 且同时取得最大值