2022-2023学年人教版八年级下册数学复习讲义 第16讲 正方形的综合应用

第16讲 正方形的综合应用

知识点一：正方形中的简单证明

一、旋转全等

1.如图，点E是正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连CE，CF.

（1）求证：△ABF≌△CBE；

（2）判断△CEF的形状，并说明理由.

2.如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别在OA，OB上，且OM=ON.

（1）求证：①BM=CN；②CN⊥BM；

（2）若点M，N分别在OA，OB的延长线上，则（1）中的两个结论仍成立吗？请说明理由.

二、中点全等

3.如图，点E是正方形ABCD中AD边上的中点，BD，CE相交于点F，连AF.

（1）求证：EB=EC；

（2）求证：AF⊥BE.

三、垂直全等

4.如图，已知正方形ABCD，点P在对角线BD上，PE⊥PA交BC于点E，PF⊥BC，垂足为点F.

（1）求证：∠PEC=∠BAP：

（2）求证：.

5.如图，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，连接BP，DP，延长BC到点E，使PB=PE.

（1）求证：∠PDC=∠PEC；

（2）试判断CD、CE，CP之间的数量关系，并加以证明.

 

 

 

 

 

知识点二： 中点四边形模型

【方法归纳】中，点四边形的形状一般通过三角形中位线定理来证明.

【基本图形】 已知点E、F、G、H分别为四边形ABCD四边的中点.

【基本结论】 （1）： （2） （3）： （4）.

【基本图形】 已知点E、F、G、H分别为AD、BD、BC、AC的中点.

【基本结论】 （1）： （2） （3）： （4）.

变式1.四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点

（1）如图1，若四边形ABCD是矩形，求证：四边形EFGH是菱形；

（2）如图2，若AC=BD，则四边形EFGH的形状是_________；

（3）如图3，若四边形ABCD是菱形，求证：四边形EFGH是矩形；

（4）如图4，若AC⊥BD，则四边形EFGH的形状是_________.

 

变式2.四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点.

（1）如图1，当______________时，四边形EFGH为正方形：

（2）如图2，E、F、G、H分别为AD、BD、BC、AC的中点.

①当______________时，四边形EFGH为矩形；

②当______________时，四边形EFGH为菱形.

变式3.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，∠ABC+∠DCB=90°，点E，F，M，N分别为AD，BD，BC，AC的中点，试判断四边形EFMN的形状并加以证明.

 

变式4.（1）如图1，点F，G，H是BC，CD，DA的中点，求证：四边形CFGH是平行四边形；

（2）如图2，在边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A，C，B都在格点上，在格点上找一点D，使点C与BC，CD，DA的中点F，G，H组成的四边形CFGH是正方形.画出点D，并求正方形CFGH的边长.

 

 

 

 

 

知识点三： 一线三等角的模型——图形变式（2）

【方法归纳】利用正方形边角的性质构造全等三角形求点的坐标.

【基本图形】 已知正方形ABCD，

【基本结论】 （1）△CBE≌△CDF； （2）BE=CF； （3）DF=CE.

【基本图形】 已知正方形ABCD，

【基本结论】 （1）△BCE≌△CDF； （2）BE=CF； （3）DF=CE.

一、构造一线三等角模型求坐标

变式1.如图，，，以AB为边作正方形ABCD，分别求点C，D的坐标.