3.1.2 椭圆的简单几何性质同步练习-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

《第一节　椭圆》同步练习 （课时2　椭圆的简单几何性质） 一、选择题 1.(多选)[2022重庆万州二中高二上期中]已知椭圆C:16x2+25y2=400,则下列关于椭圆C的叙述正确的是(　　) A.椭圆C的长轴长为10 B.椭圆C的两个焦点分别为(0,-3)和(0,3) C.椭圆C的离心率为 D.若过椭圆C的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P,Q两点,则|PQ|= 2.(多选)已知椭圆E:=1,对于任意实数k,下列直线被椭圆E截得的弦长与直线l:y=kx+1被椭圆E截得的弦长可能相等的是 (　　) A.kx+y+k=0 B.kx-y-1=0 C.kx+y-k=0 D.kx+y-2=0 3.[2022江苏南通高二上期中]17世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明方程a2-x2=ky2(k>0,k≠1,a≠0)表示椭圆,费马所依据的是椭圆的重要性质:若从椭圆上任意一点P向长轴AB(异于A,B两点)引垂线,垂足为Q,则为常数.据此推断,此常数的值为(　　) A.椭圆的离心率 B.椭圆离心率的平方 C.短轴长与长轴长的比值 D.短轴长与长轴长的比值的平方 4.[2022安徽六安一中高三模考]椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,斜率为1的直线l过左焦点F1且交C于A,B两点,且△ABF2的内切圆的面积是π.若椭圆C离心率的取值范围为[,],则|AB|的取值范围是(　　) A.[,2] B.[1,2] C.[4,8] D.[4,8] 5.[2022山东菏泽高二期末]国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示,内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆.某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同,其平面图如图2所示,若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC,BD,且两切线斜率之积等于-,则椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 6.(多选)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2,点P(1,1)在椭圆C的内部,点Q在椭圆C上,则下列说法正确的是(　　) A.|QF1|+|QP|的最小值为2-1 B.椭圆C的短轴长可能为2 C.椭圆C的离心率的取值范围为(0,) D.若=,则椭圆C的长轴长为 7.[2022 山西晋城一中高二上学霸联赛]过椭圆的左焦点F作直线交椭圆于A,B两点,若|AF|∶|BF|=2∶3,且直线与长轴的夹角为,则椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 二、填空题 8.[2022重庆一中高三模拟]已知椭圆C:+y2=1的左、右顶点分别为A,B,点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.则△BDE与△BDN的面积之比为　　　　.  9.已知A,B是椭圆=1(a>b>0)长轴的两个端点,M,N是椭圆上关于x轴对称的两点,直线AM,BN的斜率分别为k1,k2(k1k2≠0).若椭圆的离心率为,则|k1|+|k2|的最小值为　　　　.  三、解答题 10.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点为A,右焦点为F,过点A作斜率为的直线与C相交于点A,B,且AB⊥OB,O为坐标原点. (1)求椭圆C的离心率e; (2)若b=1,过点F作与直线AB平行的直线l,l与椭圆C相交于P,Q两点,求直线OP的斜率与直线OQ的斜率的乘积. 11.[2022河南新乡高二期末]已知椭圆C:==1(a>b>0)的离心率为,短轴长为2. (1)求椭圆C的标准方程; (2)过点P(1,0)的直线l与椭圆C交于两点A,B若△ABO的面积为(O为坐标原点),求直线l的方程. 12.已知椭圆E:=1(a>b>0)的右顶点为A,右焦点为F,上、下顶点分别为B,C,|AB|=,直线CF交线段AB于点D,且|BD|=2|DA|. (1)求椭圆E的标准方程. (2)是否存在直线l,使得l交E于M,N两点,且F恰是△BMN的垂心?若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由. 13.已知椭圆C:=1,直线l与椭圆C交于M,N两点,且l不与坐标轴垂直. (1)若线段MN的中点坐标为(1,1),求直线l的方程; (2)若直线l过点(6,0),点P(x0,0)满足kPM+kPN=0(kPM,kPN分别为直线PM,PN的斜率),求x0的值. 参考答案 一、选择题 1.ACD　由=1,得a=5,b=4,所以c=3. A √ 长轴长为2a=10. B ✕ 两焦点为(3,0),(-3,0). C √ e==. D √ 将x=3代入椭圆方程得16×32+25y2=400,解得y=±,所以|PQ|=. 2.ABC A √ 当k=-1时,两直线关于y轴对称,