第三章 函数的概念与性质 单元知识整合-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

第三章〉函数的栅念与性质 单元知识整合 一、微专题妙总结 内洒阐释知识胎汇·方法总站 微专题1 几种常见函数及其应用 且f(0)=0, 第 x2-2x,x>0, 1.分段函数 对分段函数要注意把握以下问题的处理 .f(x)={0,x=0, 方法： -x2-2x,x<0 (2)存在.假设存在满足题意的a,b(a< (1)分段函数的画图、求分段函数的单调 b),且a≥0，b>0. 区间、求分段函数的值域或最值、求分段函数 由(1)可知，当x≥0时，f(x)≥一1， 的解析式等，这些问题的解法均可用四个字概 括—分段处理。 故-b≥-1，即b≤1，故f(x)在[a,b]上 单调递减， (2)分段函数的求值、分段函数的奇偶性 判断，要严格按分段函数的含义及奇偶性的定 f(a)=-a, 从而有 五章 f(b)=-b. 义来处理 解得a=0或a=1(舍去)，b=1或b=0 (3)涉及分段函数的综合问题要灵活把 握，注意与有关知识的结合. (舍去) 故存在a=0,b=1满足题意. (4)含绝对值的函数，实质上是“压缩”后 2.“双曲”函数 的分段函数，解决含绝对值的函数问题的基本 方法是将其“解压”成分段函数来处理。 形如y一身（≠0a≠0）的函数，通过 ©例题1(2022，安徽合肥庐阳区高一联 分离常数可转化成y=m十1(1≠0)的形 考)已知函数(x)是定义在R上的奇函数，且 x十 当x>0时，f(x)=x2-2.x 式，故它的图象可由反比例函数y=(1≠0) (1)求函数f(x)在R上的解析式。 的图象通过平移得到，其形状与反比例函数y (2)是否存在非负实数a,b(a<b),使得当 x∈[a,b]时，函数f(x)的值域为[一b,一a]? 二(1≠0)的图象的形状一样，都是双曲线.故常 若存在，求出所有a,b的值：若不存在，说明 称其为“双曲”函数.其对称中心是（一，m),定 理由。 义域为{xx≠-n},值域为{yly≠m}. 解析(1)设x<0,则一x>0, 当t>0时，函数在（一∞，一n)和（一n, ∴.f(x)=x2+2x 十∞)上单调递减： 由f(x)为定义在R上的奇函数， 当t<0时，函数在（一∞，一n)和（一n, 得f(x)=-f(-x)=-x2-2.x, 十o∞)上单调递增. 153】 考点同步解读〉高中效学必修第一册RJA 回蓝配画出函数y一号的图象，写 这个函数的图象形如 两个对勾，因此，我们称它为 出函数的单调区间，并求出函数在区间[一1， “对勾”函数，利用这个函数 2]上的值域， 我们可以解决一些函数的单 群机y=3-2-(6-2)-3 -2 3 调性、最值与值域等问题， x-3 x-3 x-3 ⊙例题3(2022，湖北襄阳四中月考)求 设f)=3,则y=3-2g=fx-3》-2 x-3 下列函数的值域： 根据平移变换的规则知， (1)y= x2+5 章 Wx2+4 将函数f()=3的图象先向 -14123 (2)y=x2+x+2x≥2). 右平移3个单位长度，再向下 平移2个单位长度， 解标(1)y= (2+4)+1=x+4+ x2+4 第三童 即得画数y号的图象，如国所示 √x2+4 第四章 由图象知，其单调递增区间是（一○，3）和 令=V2+4,则≥2，则y=1+1 (3,+∞). 第五章 图象如图所示。 由于函数在[一1,2]上单调递增，且当x= 一1时，y=一 当x=2时y=1, 5 “y=1+}在[2，+∞)上 模 块 单调递增， 所以其值城是[-，小 22+- 3.“对勾”函数 故所求通数的值城为[，十∞)， 我们常见到形如f(x)=a.x+b(a>0,b> 1 (2)y= x+2+ (x≥2)， 0)的函数，下面我们来探究它的单调性、奇偶 性及图象的形状 令fx)=x+2(≥2， (1)不难看出它的奇偶性，因为函数的定 义域为（一o∞，0）U(0,+c∞)，且有f(-x)= 则f(.x)在[2，十∞)上单调递增， .f(x)≥f(2)=3, 一ax十 b=一f(x),所以f(x)为奇函数. y=- 1 <且>0， 2)函数f在(-√臣o)和0、)上 +2+1 单调递减：在(-∞，-√2)和后，+∞) 故所求画数的值城为0， 4.抽象函数 单调递增。 抽象函数是一种特殊的形态，求解其有关 (3)图象如图所示. 问题时常常需要依据条件采用赋值法、配凑构 154 第三章)数的概念与性质》 建法等结合处理， f(16), ⊙例题4(2022，吉林联考)已知定义在 又函教数∫(x)为偶函数，且函数f(x)在 (一∞，0)U(0,十∞)上的函数f(x)满足： (0,十∞)上单调递增， ①Vx,y∈(-∞，0)U(0,+o∞)，f(xy) 六原不等式又等价于3x-2)≠0， f(x)+f(y):②当x>1