第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元知识整合-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

考点同步解读〉高中效学必修第一册RA乡 单元知识整合 一、微专题妙总结 内洒啊释识胎汇·方法总结 第 应用基本不等式，或分组后先部分应用基本不 利用基本不等式求最值的常见 微专题 1 等式，部分与部分之间又可以应用基本不等式 题型及求解技巧 求出最值 第二 1.拆 裂项拆项 裂项是指对分子的次数不低于分母次数 ⊙题国若y为正数，则(+)广十 的分式进行整式分离 分离成整式与“真分 (y+ 的最小值为 式”的和，再根据分式分母的情况对整式进行 第四章 拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件. 团(+广++2) ⊙例题面(2022，合肥二中月考)十8 x-1 第五章 (+证)+(+)+（后+》 (x>1)的最小值为 租令=8 x-1 >≥2·证+2+2 块 剥y=}+9=x+1+号=（红 =2×2+2×2+2=4 x-1 1D+号+2≥2-D·号+2=2× 当且仅当2=少=且兴=兰即x x y 3+2=8,当且仅当x-1= 1即x=4时等 9 =号时，原式取得最小值，最小值为4. =y= 号成立 答案4. 故士8(x>1)的最小值为8. 3.配凑—配式配系数，凑出定值 x-1 有时为了挖掘出积或和为定值，常常需要 答案8. 根据题设条件采取合理配式配系数的方法，使 点评对于本题，还有如下解法：令x一1一 配好的代换式与待求值式相乘后可以应用基 11>0),则±8=+1)2+8_2+21+9 本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使 x-1 t 积式中的各项之和为定值， t+9+2≥2×g十2=8，当且仅当1=3，即x ⊙例题3(2022，广州二中月考)已知0< 4时取等号， x<2,求x(5一2x)的最大值. 2.并一分组并项 解析因为0<x<2, 分组并项的目的是分组后各组可以单独 所以0<2x<4,5-2.x>0, 78 第二章)一元二次函数、方程和不子式 则x(5-2x)=号·2x·(5-2x)≤2 变形：②消去x,y中的任意一个变量. 5.上述方法的综合应用 [2+2]-×25-，当且仅当2x 2 2 4 ⊙例题5已知x≥1，求函数y=x十1十 5-2,即x=骨时等号成立，故x(5-2x)的最 16x的最小值. x2+1 大位为 解机方法-y=x+1+162 4.“1”的代换与消元 ⊙例题☑已知x>0y>0,且1+9=1， +16·令u=x+（红≥1).则u≥2，y月 求x十y的最小值. 4+16≥8，当且仅当u=16,即u=4,x=2+3 腐方法一(“1”的代换)：1+9=1. 时等号成立 x y ∴+y=(+0}+)=10++ 方法二 y=x++16=+1+ xx2+1 y .平=8，当且仅当+1 x x+ 第 当且仅当义=9，即y=3x时，取等号. 异即=2十V时等号底 五意 :1+9=1, 不等式证明与恒成立问题的常 微专题 2 x y 见题型及求解策略 模 ∴.当x=4,y=12时，(.x十y)mn=16. 1.以不等式性质为工具的不等式证明问题 方法二（消元法）“上+9=1， ⊙例题6(2022，西北工大附中月考)已 x y …x=y y-91 知u>>0<0.求证：后>分 ,x>0,y>0,∴.y>9. 朋方法一（性质法）因为>b>0, x+y产g+y=y+99 所以ab>0.1>0. "ab y-9 y+ ”g+1=y9+,”g+10,且y9>0. 于是a…b ‘a6(性质4) y-9+”g≥2-90X。 =6, 即>由<0，得后>云性质0 y-9 方法二（作差法）因为a>b>0,c<0, 当且仅当y一9=，”g即y=12时，取等 所以b一a0,ab>0. 号，此时x=4 所以-6=>0，所以后>6 a b ab ∴.当x=4,y=12时，(x十y)mm=16. 方法三（作商法）因为a>b>0,c<0. 点评要求x十y的最小值，应构建某两个 数（或式）的积为定值，因而需要对条件进行必 所以<1，后<0，所以2=<1 d c a 要的变形，有两种思路：①利用“1”的代换进行 79 考点同步解读〉高中效学必修第一册RJA乡 又分<0.所以后>后 所以3ab+k十ca)≤1，即ab+k+ca≤3 2.以基本不等式为工具的无附加条件的 (2)因为号+>2a+≥20+a≥ 不等式证明问题 ⊙例题7已知x>0,y>0,>0,求证： 所以g+E+C+(a+b+c)≥2(u+b+ b c a +)++）≥8 0,即+2+后>a+b十c,当且仅当a=h=c b c a 证明，x>0,y>0,>0, 第 时等号成立故号++≥引 童 y+≥2>0，g+>20, 3 v- y 方法总结1.证明不等式可以顺证（从左到 任+义≥2y>0,当且仅当x=y=时2 右)，也可以逆证（从右到左），通常是从较复杂 的一边往较简单的一边证明， 上