4.1 指数-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

第四章 〉指数函数与对数函数 4.1指数 高考要求学业标准·考情分祈 一考点分布 学科素养 一学法乎引 L.理解有理数指数幂的含义，了解实数指 本讲的学习重点是根式与分数指 数学抽象，数学运算 数幂的意义并掌握幂的运算.（★★） 数幂的概念及性质和分数指数幂的运 算法则，以及法则的推广，这同时也是 简化计算的一个方面.指数计算是一项 2,能准确把握根式的运算性质及分数指 基本功，包括化简、计算和指数的恒等 数幂与根式的互化，熟练应用幂的运 数学运算、逻辑推理 二章 式证明等.这要求学生能灵活运用根式 算性质进行幂的运算.（★★★★） 的概念和指数的运算性质。 考点分类考点透析·典例制衍 考点1 五章 根式的相关概念与性质 + ·核心总结 模 ⊙方法梳理， 1.n次方根 1.将x=a化为根式的 如果x"=a,那么x叫作a的u次方根，其中n>1且n∈N。 方法 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次 (1)根据n次方根的定义 方根是一个负数.这时，a的n次方根用符号a表示 写出基本形式 当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相 (2)根据指数n的奇偶 反数.这时，正数a的正的n次方根用符号a表示，负的n次方 性，明确结果是a还是士a. 根用符号一a表示.正的n次方根与负的n次方根可以合并 2.n(n>1)次方根的个数 及符号的确定方法 写成士a(a>0).负数没有偶次方根. (1)正数的偶次方根有两 0的任何次方根都是0，即ō=0. 个且互为相反数，任意实数的 式子a叫作根式，n叫作根指数，a叫作被开方数 奇次方根只有一个 2.几个重要的等式 (2)根式a的符号由根指 在a有意义的前提下，(a)"=a. 数n的奇偶性及被开方数a 当n为奇数时，a"=a:当n为偶数时，a=|a 的特号共同确定： a,a≥0. ①当n为偶数时，Va为非 -a,a<0. 负实数 161 考点同步解读〉高中放学必修第一种RA乡 3.a"和(a)"的区别 ②当n为奇数时，Na的符 号与a的符号一致， (1)a"是实数a的n次方根，是一个恒有意义的式子，a∈ 3.根式化简或求值的方法 R,但这个式子的值受n的奇偶性限制.当n为大于1的奇数 (1)在解决根式的化简或 时，a=a:当n为大于1的偶数时，a=|a.如（一3）= 求值问题时，首先要分清根式 -3,√(-3)=|-3=3 为奇次根式还是偶次根式，然 (2)(Wa)”是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的 后运用根式的性质进行化简 取值范围由n的奇偶性决定，当n为大于1的奇数时，(a)”一 或求值 第 童 (2)对于根式的运算还耍 a,a∈R:当n为大于1的偶数时，(a)=a,a≥0.由此可知， 注意变式、整体代换、平方差、 第二意 只要(a)”有意义，其值恒等于a,即(a)"=a. 立方差，完全平方、完全立方 ⊙考题1(2022，长沙一中高一测试)已知a,b∈R,下列各 公式的运用，做到化繁为简， 式中总能成立的是 必要时进行分类讨论 ①(a-b)s=a-b:②(a+)严=a2+F:③a-万= a-b:④(a十b)o=a+b. 解由题意知，①显然不对；②中，，a2十b≥0，∴.②一定 山规律总结 第五章 成立，因此②正确；③和④中，a,b∈R,a=a,=b, 有限制条件的根式化简的步骤 故a-万=|a-bl,(a+b)而=|a+b1,故③和④错误. 去报号化为含络对位的彩式 块 答率②. 讨论 太绝对值符号 ⊙变式1(2022，西北工大附中月考)有下列说法： ①9-27=3： 化简 得结论 ②16的4次方根是士2： ③√81=土3： ④W(x+y)2=x+y|: ⑤√(3-2)+(3-2)=2-√2. 其中正确的是 (填序号) ©考题2(2022，衡水中学单元测武)已知m0=2,则m A.2 B.-192 C.√2而 D.±92 解配因为m“=2,所以m是2的10次方根。 又因为10是偶数， 所以2的10次方根有两个，且互为相反数。 所以m=土2. 答素D 1162 /第四章，指数函数与对数函数 变式12（2022，合肥二中单元测试)用根式表示下列各 式中的x；_1.利用根式的性质解题 （1)已知x^6=2013，则x=——．的关键是在理解的基础上熟 （2)已知x^s=-2013，则x=—记根式的意义与性质。特别要 考题∃（2022，河北张家口一中单元测试）化简：注意在\sqrt{a}-中，n是偶数且a≤ 0的情况。 \sqrt{x}-2)*+(\sqrt{x}-\sqrt{2})． 2.在根式计算中，含有\sqrt{a} ■析\sqrt{x}-2^x+(\sqrt{x}-\sqrt{2})^3=|x-2|+x-\sqrt{2}(n为正偶数)的形式中要求 第 2x-2-\sqrt