3.3 幂函数-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

第三章)数的概念与性荫 3.3 幂函数 高考要求学业标准·斯情分析 一考点分布· 学科素养· 一学法导引 1,掌握五种常见幂函数的图象特 幂函数的图象特征及性质与参数a密切 征及性质，并能利用其简单性质 直观想象、数学运算 相关，其定义域、值城可能会因为α取值的不 进行实数大小的比较.（★★★） 同而不同：幂函数在第一象限内总有图象，而 2.能解决与幂函数相关的复合函 在第四象限内永远不会有图象，这是因为幂的 数学运算、逻辑推理 数问题.（★★） 运算性质：正数的任何次幂均为正数。 考点分类考点透析·典例制祈 考点1 幂函数的概念 ·核元总结 第 方法梳理… 1.幂函数的概念 1.判断一个函数是否为 把形如y一的函数称为幂函数，其中x是自变量，a是 幂函数的依据是该西数是否 五章 常数 为y=(a为常数)的形式： 2.对幂函数的概念的正确理解 反之，若一个函数为暴函数， 模 (1)形如y=的函数叫作幂函数，这里需满足条件：①系 则该函数应具备y=x(a为 数为1：②指数为常数：③后面不加任何项.例如y=3x,y= 常数)这一形式，这是我们解 x+1,y=x2+1均不是幂函数. 决某些问題的隐含条件， (2)形如y=(2x)°，y=2.,y=x+2(其中x是自变量，a 2.已知暴函数y=x(a 是常数)的函数都不是幂函数 为常数)的图象过某点，只需 将此，点的坐标代入，求出a即 (3)y=x中a∈R 可求出该幂函数的解析式. (4)确定一个幂函数，只需确定α即可. 3.求暴函数解析式的依 (5)课本中重点涉及的五个常见的幂函数：y=x,y=x, 据和常用方法 y=x,y=x,y=x1,除此之外，还有必须熟悉另外五个幂函 (1)依据：若一个函数为 数，它们是：y=x,y=x2,y=x,y=x,y=x 幂函数，则该函数应具备幂函 ⊙考题1(2022，黄冈调考)有下列函数： 数解析式所具备的特征，这是 解决与器西数有关问题的隐 ①y=3:@y=x+1:③y=-0y=1:⑤y=. 含条件 其中，是幂函数的有 (填序号) (2)常用方法：设幂函数 解折①中，x2的系数为3，故不是暴函数； 的解析式为f(x)=z,依据 ②中，y=x2十1不是2的形式，故不是暴函数； 条件求出a 133 /若点同步解读，“高中放学必经第一卧R|A鸟 ③中。y=-2=-(x+)，系数是-1，故不是幂函数； ④中，y=±=x^1是幂函数； ⑤中，y=x^3是幂函数． 答案”④⑤． 变式1-1』（2022，广西调考)下列函数是幂函数的有 _____（填序号)。 ①y=2‘；②y=x^‘﹔③y=2x^2；④y=2x+3x；⑤y=x+1； 直⑥y=√x；⑦y=(x-1)+，⑧y=x^°(x≠0)。 线通2（2022，东北三校高一联考)已知幂函数f(x)的图 象过点(42)。若f(x)=8.则x=(-) 屏析设f(x)=x，将点(4ξ)代入，得=4，所以α= ，所以f(x)=x+个x+=8.得1=8~= 答系D 模变式1-2』（2022，宁波二中周练)若幂函数y=f(x)的图 象过点(2，4)，则该函数的解析式为—． 考题习若函数y=(2a+3)x^“是幂函数，则实数a的值 为_______ 解析因为y=(2a+3)。x是幂函数，所以2a+3=1，解得 a=-1，此时a^2-3=-2.因为函数y=x-^2为幂函数，所以a= -1符合题意。 答案-1. 变式13已知幂函数f(x)=(m^2-2m+2)x，则 f(-3)=___ 考点|2』幂函数的图象 _________核个总结__… 我们令a=1，2，3，=-1，-2.并通过描点法在同一坐标幂函数y=x^2的图象在 系中作出幂函数y=x，y=x^2∙y=x^·y=x^3-y=x-|y=x-^2 第一象限内的特征 1.α>1，图象过点(0，0)， 的图象如下页图所示。，________D，下凸递增。如y=x。 134 /第三章>数的概念与性质 2.0<a<1,图象过点(0， 0),(1,1),上凸递增，如y=x. 3.a<0,图象过点(1,1) 以两坐标轴为渐近线，如y= x,y=x2等 [拓展]暴函数在第一象 限内指数的变化规律：在第一 3.-2 4 象限内直线x=1的右侧，图 象从上到下相应的指数由大 变小：在直线x=1的左侧，图 第 象从上到下相应的指数由小 童 变大 第 [注意]当a=0时，y=x”=1(x≠0)是一条不包含点 山规律总结… (0,1)的直线 1,暴函数的图象问题大 多数是根据暴函数的图象在 ⊙考题4(2022，成都诊断)图中曲线是幂函数y=x°在第 第一象限内的特征来解决 一象限内的图象，已知a取士2，士四个值，则相应曲线C,C, 2.具体而言，抓住幕西数 y=x的特征：若a>0,图象 Ca,C