3.2 函数的基本性质-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

考点同步解读〉高中效学必修第一册RJA乡 3.2 函数的基本性质 3.2.1 单调性与最大（小）值 高考要求学业标准·考情分析 一考点分布· 学科素养 一学法导引· 1.理解函数的单调性及其 L.函数的单调性是函数的一个重要性质 第 逻辑推理、直观想象 几何意义.（★★） 童 2.判断函数的单调性或单调区间时，可以结合 2.理解最大（小）值及其几 函数的图象进行判断，对于一般函数需用增减性定 第二意 数学运算、直观想象 何意义.（★★） 义加以证明. 3.会借助函数的图象来理 3.单调性的应用表现在两个方面：①根据自变 第三章 解和研究函数的单调性 数学运算，直观想象 量的大小关系得到函数值的大小关系：②根据函数 和最值.（★★★） 值的大小关系得到自变量的大小关系. 第四章 考点分类考点透析·典例到祈 考点1 函数单调性的判断与证明 第五章 ·核心总结 有准点实破 1.函数增减性的定义 L.所有的函数都具有单 模 增函数 减函数 调性吗？ 并非所有的函数都具有 区间D二定义域I, 区间D二定义域1， 单调性.例如函数∫(x)= Vx1,x2∈D Vx,x∈D, 1,x为有理数， 当x12时，都有f()<f(x), 当x1<x时，都有f(x1)>f(x2), 它的定义城 0,x为无理数， 则称f(x)在区间D上单调递增. 则称f(x)在区间D上单调递减 为R,但不具有单调性 特别地，当函数f(x)在它的定义 特别地，当函数(x)在它的定义域 2.函数单调性的定义中 域上单调递增时，就称它是增函数 上单调递减时，就称它是减函数 有三个核心，例如在增函效定 2.函数单调性的几何意义 义中： ①.x<:②f代)fm): 在单调区间上，增函数的图象从左到右是上升的，减函数 ③函数f(x)为增函数 的图象从左到右是下降的. 那么以①②③中任意两个 反之，对于给定区间上的函数(x),若它的图象从左到右 作为条件，能不能推出第三个？ 连续上升（下降），则函数(x)在该区间上是单调递增（减）的. 这是可以的，所以有下面 三个结论成立： ⊙考题](2022，杭州二中单元测试)若函数f(x)的定义域 1<t2, 为(0，十∞)，且满足f(1)<f(2)<f(3),则函数f(x)在(0， (<f(f() 是增函数， 十o∞)上( ). 0<2 A.是增函数 B.是减函数 f(x)为增函数 C.先增后减 D.单调性不能确定 →f(x)f(x): 108 第三章>数的概念与性质∥ 解祈 选项 正误 f(n)<f(x2), 原因 f(x)为增函数 A × →x12. 函数单调性的定义突出了x1,2的任意性， 对于减函数也有类似的 B 区间内有限个函数值的关系不能作为判断单 结论，显然x1,x2也要满足任 调性的依据 C 意性 ☆解疑释惑… 单调性定义的三个特征缺一不可 函数的单调性是函数在 容系D 某个区间上的性质 1.这个区间可以是整个 第 点评求解此类问题时要充分把握定义的三个特征来逐一 定义城 检验 例如，y=x在整个定义 城（一∞，十∞）上是增函数， 第 ⊙变式1-1(2022.，烟台高一联考)下列说法中正确的个数 y=一x在整个定义域（一o©， 为( 十∞)上是减函数. ①定义在(a,b)上的函数f(.x),如果有无穷多个，2∈(a,b). 2.这个区间也可以是定 义城的真子集 当x1<x2时，有f(1)<f(x2),那么f(x)在(a,b)上为增函数； 例如，y=x在定义域 四 ②如果函数(x)在区间I上为减函数，在区间I2上也为减 (一∞，十o)上不具有单调 性，但在（一。，0]上是减西 函数，那么f(x)在区间I1和I2上就一定是减函数： 数，在[0，十©)上是增函数. 第五章 ③对任意的1∈(a,b),且≠2，当)二)<0 3.有的函数不具有单调性 T1一xg 例如，y=x十1，x∈Z,它 模 时，f(x)在(a,b)上是减函数： 的定义战不是区间，因此不能 ④对任意的，x2∈(a,b),且≠2，当（一2）·[f() 说它在定义战上具有单调性 误区防错… f(.x2)]>0时，f(x)在(a.b)上是增函数， 1.易错点 A.1 B.2 C.3 D.4 考题2在本质上就是证 ⊙考题2(2022，南昌一中单元测试)求证：函数f(x)= 明y=x在R上是增函数，若 由x,<x直接推出x<, x+x在R上是增函数. 这是以y=x是增函数为依 证明Vx1,x2∈R,且x<x2,则x2一x>0, 据，犯了循环论证的错误，即 f(x2)-f(x1)=(x+x2)-(.x十1) 把要证明的结论当成了条件. 2.防错良方 =(x2一x1)(x吃十x2.x1十x7)+(x2一T1) 作差后进行因式分解，直 =(x2-x1)(x十x21+x十1) 到在实