6.3.4　空间距离的计算（配套教学设计）-苏教版高二数学选择性必修第二册同步教学（课件+教学设计+单元复习）

风风高中数学配套教学软件教学设计 6.3.4空间距离的计算 江苏省苏州实验中学丁益民 教学目标： 能利用投影向量得到点到直线、点到平面的距离公式，结合一些具体的距离 问题的解决，归纳用空间向量解决立体几何问题的步骤，提升直观想象、数学运 算素养 教学重点： 利用投影向量推导点到直线的距离公式和点到平面的距离公式 教学难点： 利用投影向量研究空间距离问题. 教学过程： 一、问题情境 前面，运用向量的方法研究空间中的线面位置关系、空间中角的计算问题.能 否运用向量的方法研究空间中的距离问题， 问题1：立体几何中有哪些距离问题？可以怎样研究这些距离问题？ 两点距离是根本，点到直线的距离和点到平面的距离是基础，其它距离问题 均可转化为这两类问题. 二、学生活动 问题2：如何求直线1外一点P到直线1的距离？ 取一个与直线I垂直的向量n,则AP.i=|AP‖icos<AP,元>， 从而AP cos<,i>=P:元 所以，点P到到直线l的距离d= AP. | 思考题：还可以怎么处理直线1外一点P到直线1的距离？ 问题3：如何求平面a外一点P到平面a的距离？ 设n为平面a的法向量，则 AP.i=|AP‖icos<APn>, 风凰高中数学配套教学软件教学设计 从而护cs<,万>=护万 |n 所以，点P到平面a的距离d=P· li 三、数学建构 梳理出空间向量求点到平面的距离步骤： 第一步，确定平面a的法向量亓： 第二步，选择参考向量AP: 第三步，确定参考向量AP到法向量n的投影向量； 第四步，求投影向量的长度. 四、数学应用 例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E,F分别是BC和CD 的中点. (1)求证：EF/BD1: (2)求两条平行线EF和BD1间的距离 解：以(DA，,DCDD)为单位正交基底，建立所示的空间直角坐标 系D-3,则c0,1,0B1,1,1D0,0,1DE(分h0 F(0, 30). B D E B 1因为元=分名0》 DB=(1,1,0)=2FE, 风风高中数学配套教学软件教学设计 所以FE11DB, 故EF/BD1. (2)因为EF∥B1D1,所以点E到直线B1D1的距离为两条平行线EF和BD1 间的距离。 设在平面EBD1内与直线BD1垂直的向量为n=(x,y,z),则n⊥BD,可 得x十y=0.由n与BD,BE共面可知，存在实数m,P,使得 =mBD+pBE. 因为80=(-1，-1,0>gE=(-20,-1D 所以c,y)=-1,-1,0》+切(-30，-D =(-m- 2P,-m,-p) 即 所以x=y+ z=一p 令x=1,则y=-1,z=4,即开=(1，一1,4). 点E到直线BD1的距离为 9 d=1BB:=2=32, iv184 两条平行线EF和BD,间的距离为3 4 例2已知正方体ABCD-AB1CD1的棱长为1，求点B到平面BCD1的距离. 解：以{DA,DC,DD}为单位正交基底，建立所示的空间直角坐标系 D-yz,则B(1,1,0),C(0,1,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1), 风凰高中数学配套教学软件教学设计 D D B 所以DB=(1,1,0),CB=(1,0,1),BC=(-1,0,0), 设平面B1CD1的法向量为n=(x,y,z), 则n-DB=0,iCB0, 即x+y=0,x+z=0. 令x=一1，则y=1,z=1, 所以n=(-1,1,1). 因为元BC=1,i=3, 所以点B到平面B1CD1的距离为 d=ln-BCI_3 |il 3 思考：本题还有其他解法吗？ 五、课堂小结 本节课学习了哪些内容？ 运用向量的方法求空间中点到直线、点到平面的距离.