6.3.3　空间角的计算（配套教学设计）-苏教版高二数学选择性必修第二册同步教学（课件+教学设计+单元复习）

风风高中数学配套教学软件教学设计 6.3.3空间角的计算 江苏省苏州实验中学丁益民 教学目标： 能用向量方法解决线线、线面、二面角的夹角的计算问题. 教学重点： 能用向量方法解决线线、线面、二面角的夹角的计算问题. 教学难点： 线面角与二面角的计算. 教学过程： 一、问题情境 复习：空间两条异面直线所成的角可转化为两条相交直线所成的锐角或直角： 斜线与平面所成的角是指斜线与它在平面内的射影所成的锐角：两个平面所成的 角是用二面角的平面角来度量.这就是说，空间的角最终都可以通过转化，用两 条相交直线所成的角来度量. 问题：如何用向量的方法来求空间的角的大小呢？ 二、学生活动 (1)画个正方体，观察正方体内异面直线所成的角： (2)画一个线面角，并作出它的平面角，思考如何用向量来表示它： (3)画一个锐二面角、一个钝二面角，并作出平面角，思考怎么用向量表 示二面角的平面角， 三、建构数学 1.两条异面直线所成的角与它们的方向向量所成的角： 2.直线的方向向量与平面的法向量的夹角为锐角时，直线与平面所成的角 与这个夹角互余： 3.一个二面角的平面角4与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角2 相等或互补 四、数学运用 例1在正方体ABCD-ABCD1中，E,F1分别在AB1,CD1上，且EB 风凰高中数学配套教学软件教学设计 =4B,DF=DC,求B弧与Dr所成的角的大小， 解1：（几何法）作平行线构造两条异面直线BE与DF1所成的角∠AHG, 通过解三角形知识，由余弦定理可得cos∠AHG= 17 解2：（向量法）设DD=4a,D,F=b,则1ā=1b1且a⊥6. 1DFP=|BE,P=(4a)2+b2=17a2, DF,BE=(4a+b)(4a-b)=15a2, cOs<BE DF>= BE,·DE=15 IBE IDFI 17 解3：（坐标法）设正方体棱长为4，以{DA,DC,DD}为正交基底， 建立如图所示空间坐标系D-z. BE1=(0,-1,4), DF=(0,1,4), BE·DF=15, D Cos BE DF>= BE·DE=15 IBE IDE17 例2在正方体ABCD-A1B1CD1中，F是BC的中点，点E在DC1上，且 D,E,=4D,C,试求直线EF与平面D4C所成角的大小. 解：不妨设正方体棱长为1，以(DA,DC,DD}为单位正交基底，建 立如图所示坐标系D-2, D B D 风凰高中数学配套教学软件教学设计 DB,为D4C平面的法向量，DB,=(1,1,1). ，-1), cos<DBEF=87 87 所以直线EF与平面DAC所成角的正弦值为V87 87 例3在正方体ABCD-A1B1CD1中，求二面角A1-BD-C1的大小. 解：不妨设正方体棱长为1，以(DA,DC,DD}为单位正交基底，建 立如图所示坐标系D-32,则 D B C B DB=(1,1,0),DC=(0,1,1). 设平面CBD的法向量为元，=(x,y,z). 由元·DB=0,元·DC=0,得： x+y=0,y十z=0.令x=1,则y=一1，z=1, 故元=(1，一1,1)，同理，平面A1BD的法向量为元2=（一1,1,1）. 所以c0s<元，元>=万：成=-1 1元‖元23· 根据图形可知，二面角A1-BD-C1的大小约为70.53°. 五、课堂小结 (1)本节课学习了哪些内容？ 3 风凰高中数学配套教学软件教学设计 (2)运用向量方法（线性表示、坐标表示）解决线线、线面以及二面角的 夹角的计算问题