6.3.1　直线的方向向量与平面的法向量（配套教学设计）-苏教版高二数学选择性必修第二册同步教学（课件+教学设计+单元复习）

风风高中数学配套教学软件教学设计 6.31直线的方向向量与平面的法向量 江苏省苏州实验中学丁益民 教学目标： 理解直线的方向向量和平面的法向量的概念：会用待定系数法求平面的法向 量 教学重点： 直线的方向向量和平面的法向量. 教学难点： 求平面的法向量 教学过程： 一、问题情境 问题1：如何用向量刻画空间直线与直线、直线和平面、平面和平面的位置 关系？ 为了用向量研究空间的线面关系，首先我们要用向量来表示直线和平面的 “方向”. 问题2：如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？ 二、学生活动 活动1：由平面直角坐标系中直线的方向向量类比得到空间直线的方向向量 概念 活动2：思考如何用向量表示平面的“方向”？（由于垂直于同一平面的直 线是互相平行的，可以考虑用平面的垂线的方向向量来进行刻画.) 三、建构数学 (1)直线的方向向量 我们把直线1上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫作直线1的方 向向量。 (2)平面的法向量 如果表示非零向量i的有向线段所在直线垂直于平面，那么称向量i垂直 于平面a,记作元⊥a,此时，我们把向量元叫作平面a的法向量 风凰高中数学配套教学软件教学设计 四、数学运用 例1在正方体ABCD-AB,CD中，求证：DB是平面ACD,的法向量. B B 证明：不妨设正方体棱长为1，以{DA,DC,DD}为单位正交基底， 建立如图所示空间直角坐标系D-z,则各点的坐标为A(1,0,0),C(0,1, 0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),所以 DB,=(1,1,1),AC=(-1,1,0),AD=(-1,0,1. 因为DB,·AC=0,所以DB⊥AC 同理DB,⊥AD· 又因为AC∩AD=A, 所以DB,⊥平面ACD, 从而DB,是平面ACD1的法向量. 在空间直角坐标系中，我们还可以用待定系数法来求平面的法向量 变式：在正方体ABCD-AB1CD1中，求平面ACD1的一个法向量. 解：设平面ACD,的一个法向量为a=(x,y,z)则 a1AC,a⊥AD1从而ā，AC=0,a·AD=0. 因为4C=(-1,1,0),AD=(-1,0,1), 所以-1x+1y+0z=0,-1x+0y+1z=0. 解方程组 x-y=0, x-z=0. 风凰高中数学配套教学软件教学设计 得到x, x=z. 不妨取x=1,则y=z=x=1. 所以，a=(1,1,1)就是平面ACD1的一个法向量， 例2在空间直角坐标系内，设平面α经过点P(xo,yo,z0),平面α的法 向量为e=(A,B,C),M(x,y,z)为平面a内任意一点，求x,y,z满足的 关系式 解：由题意可得PM=(x一xy一yoz一2o) 因为e是平面的法向量，所以e⊥PM,从而e·PM=0, 即(A,B,C)(x-x0'y-yz-2,)=0, 得到A(x-x。)十B(y-y)+C(z-z)=0. 所以满足条件的关系式为 A(x-x)+B(y-y)+C(z-z)=0. 思考：已知直线上一点和直线的方向向量，这条直线就唯一确定，已知平面 内一点和平面的法向量，这个平面是否唯一确定？ 五、课堂小结 本节课学习了哪些内容？ (1)直线的方向向量和平面的法向量： (2)待定系数法求平面的法向量，