6.2.2　空间向量的坐标表示（配套教学设计）-苏教版高二数学选择性必修第二册同步教学（课件+教学设计+单元复习）

风风高中数学配套教学软件教学设计 6.2.2空间向量的坐标表示 江苏省苏州实验中学丁益民 教学目标 能用坐标表示空间向量的坐标：会根据向量的坐标进行两个空间向量的运 算. 教学重点： 空间向量的坐标表示与运算， 教学难点： 空间向量的坐标运算。 教学过程： 一、问题情境 问题1：在平面向量中，我们借助平面直角坐标系得到了平面向量的坐标表 示和坐标运算.在平面直角坐标系中如何用坐标表示向量呢？ 在平面直角坐标系中，分别取x轴、y轴正方向上的单位向量i,j作为 基底，由平面向量基本定理可知，平面内任一向量a,存在唯一实数对(x,y), 使a=i+y.实数对(x,y)叫作向量a在平面直角坐标系中的坐标，记作a= (x,y). 问题2：类似于平面向量基本定理，类比推广到空间向量基本定理，能否将 平面直角坐标系中的坐标表示向量类比推广到空间呢？ 平面向量 类比 空间向量 坐标表示 推广 坐标表示 二、学生活动 空间直角坐标系O-yz的建立： 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,方，k}·以点O为原点，分别 以i,广，k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫作坐标轴. 这样就建立了一个空间直角坐标系Oz.其中点O叫坐标原点，三条坐标轴的 每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、Ox平面（链接介绍： 右手直角坐标系)· 风凰高中数学配套教学软件教学设计 三、建构数学 空间向量的坐标表示 如图，在空间直角坐标系Oxz中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单 位向量，j,作为基向量，对于空间任意一个向量ā，根据空间向量基本定 理，存在唯一的有序实数组(x,y,z),使ā=xi+疗+f. 有序实数组(x,y,z)叫作向量ā在空间直角坐标系O-xz中的坐标，记作： a=(x,y,z). 0 在空间直角坐标系Oz中，对于空间任意一点A(x,y,z) 向量0A是确定的，OA仁xi+可+zk, 因此，向量0A坐标为OA=(x,y,z) 当空间向量ā的起点移至坐标原点时，其终点的坐标就是向量ā的坐标. (1)空间向量的坐标运算法则 设ā=(x,y),b=(xy,),则 a+6=(x十x2,y+y2:2十z2), a-b=(x,-x2yy1-y21-22) a=(Ax,Ay Az), a∥万台x,=xy=y=元z,(2eR) (2)若A(1,m,),B2,2,,则AB=(x2一y2一22一2) 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐 2 风凰高中数学配套教学软件教学设计 标减去起点的坐标. (3)a,b=xx2十yy2+122 对于ā·b,由学生上黑板仿平面向量数量积的坐标表示来证明. 由此可知：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 特别地，a=6,可以得ā=√x++z2. 思考：试用向量的方法推导空间两点4（如1，，），B(2,2,)的距离公 式 (4)设空间两个非零向量ā=(x),6=(x,y,2),它们的夹角为 <a,b>,由向量数量积定义可得 cos <a,b>=- xx2十yy2十3122 x++ 由此，可以得到ā⊥b台ā，b=0台xx,十yy+12,=0· 四、数学运用 例1已知a=(1,-3,8),b=(3,10,-4),求ā+b,a-b, 3d. 解：a+b=(4,7,4),a-b=(-2,-13,12),3=(3,-9, 24). 例2己知空间四点A(一2,3,1)，B(2,-5,3),C(10,0,10) 和D(8,4,9),求证：四边形ABCD是梯形. 解：依题意OA=(-2,3,1)，0B=(2,-5,3)所以AB=0B-OA= (4,-8,2). 同理DC=(2,-4,1),AD=(10,1,8),BC=(8,5,7). 由AB=2DC可知AB∥DC, 又由于AB≠DC,所以四边形ABCD是梯形. 例3已知A(3,1,3),B(1,5,0),求： 风凰高中数学配套教学软件教学设计 (1)线段AB的中点坐标和长度： (2)到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标x,y,z满足的条 件. 解：1)设M是线段AB的中点，0是坐标原点，则OM=)(OA+0B)= (2,3, 3) 48的中点坐标是2,3，多》，有B=(一2，+-3）， 14B1=V(-2)2+42+(-3)2=√29. (2)点P(x,y,z)到A,B两点的距离相等， 则Vx-3)2+0y-)2+(2-3)2=Vx-1)2+(0y-5)2+(2-02, 化简得：4x-8y+6z+7=0. 所以，到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标x,y,z满足的条 件是4x-8y+6z+7=0. 注：到A,B两点的距离相等的点P(x,y,)构成的集合就是线段AB的 中垂面，若将点P的坐标x,y,z满