6.2.1　空间向量基本定理（配套教学设计）-苏教版高二数学选择性必修第二册同步教学（课件+教学设计+单元复习）

风凰高中数学配套教学软件教学设计 6.2.1空间向量基本定理 江苏省苏州实验中学丁益民 教学目标： 1.掌握空间向量基本定理及其推论： 2.理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示： 3,在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量， 教学重点： 空间向量基本定理， 教学难点： 理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表 示是唯一的。 教学过程： 一、问题情境 问题1：平面向量基本定理表明，平面内任一向量可以用该平面的两个不共 线向量来线性表示，那么，空间任一向量能用三个不共线的向量来线性表示吗？ 二、学生活动 问题2-1：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，如何用 D AB,AD表示AE? 回忆：平面向量基本定理内容. 图 问题2-2：如图2，点G是平行四边形ABCD所在平面外一点，能否用AB, AD线性表示AG？为什么？ D 图2 问题2-3：两个非零向量只能线性表示它们所在平面内的向量，不在这个平 面内的向量就不能线性表示了.那么一个非零向量只能线性表示什么样的向量？ 风凰高中数学配套教学软件教学设计 ●尝试根据之前学习经验，完成下表： 向量与相关定理 表示某一方向上的 表示某一平面内的 表示某一空间内 任意向量 任意向量 的任意向量 依据 共线定理 平面向量基本定理 基向量的个数 一个基向量 两个基向量 非零向量、 基向量要求 非零向量 不共线 三、建构数学 空间向量的基本定理 如果三个向量毛，毛，已不共面，那么对空间任一向量下，存在唯一的有序 实数组(x,y,z),使p=xE十y吧2十； 证明：（存在性）设e,已，已不共面， 过点O作OA=ξ，OB=E,OC=c,OP=p AO B A 过点P作直线PP'平行于OC,交平面OAB于点P' 在平面OAB内，过点P'作直线P'A'∥OB,P'B'∥OA,分别与直线OA, OB相交于点A',B,于是，存在三个实数x,y,2,使 OA=x0A=xe,OB=y0B=吧，P'p-z0C=z, OP-04+0B+P'P=x0A+y0B+zOC. 所以p=xe十ye,十ze. (唯一性)假设还存在x',y,z'使p=x'+y'十z' 风凰高中数学配套教学软件教学设计 xe+ye,十ze=x'e+y'e,十z'e (x-xE十(y-y')e,十(z-z)E,=0. 不妨设x≠x即x一x'≠0， x-x' .,e2,共面此与已知矛盾. 该表达式唯一 综上两方面，原命题成立， 若三向量e,2,C不共面，那么空间的任一向量都可由e,已2，C线性表 示，我们把{e,e,,C}叫作空间的一个基底，e,e,已叫作基向量， 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基 底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位 正交基底，通常用(，，}表示。 推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的 三个有序实数x,,z,使OP=xOA什yOB十zOC. 四、数学运用 例1如图，在正方体OADB-CA'D'B中，点E是AB与OD的交点，M是 OD'与CE的交点，试分别用向量OA,OB,OC表示OD和OM. 女 D 0 解：因为0D=0A+0B,所以OD=0D+DD=0A+OB+0C. 风凰高中数学配套教学软件教学设计 由△E-△DMC,可得OM=OE D'M D'C 又oE=DC,则oM-DM=0D, 所以OM=1OD -号oi+os+号oc. 3 五、课堂小结 本节课学习了哪些内容？ (1)空间向量基本定理及其推论： (2)运用类比的思想由平面向量的基本定理扩展到空间向量的基本定理.